複素数について

質問

複素数について

教科書に次のようなものが載っていました。

「複素数α、βに対して、実数の場合と同様に、次のことがなり立つ。
αβ=0⇔α=0またはβ=0」
【質問】
これは定義であって証明できないのでしょうか。
証明しようと思って、
p.f.
α=a+bi,β=c+diとおいて
αβ=(a+bi)(b+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0
よって、複素数が等しいための定義から
ac-ad=0...(1)，bc+ad=0...(2)
(このあと、連立方程式は場合分けをするのでしょうか?解き方がわかりませんでした^^;)

としてみたのですが、行き詰まってしまいました。
どなたかご教示お願いします。

回答No.11

178-tall

「連立方程式」に固執せず、何でもあり、とおっしゃるなら …

　　　↓　< ANo.4

>「極形式表示」で考えるのが判りやすそう。

α = |α|*e^{i*arg(α) } 、β = |β|*e^{i*arg(β) } と表示すれば、
　αβ = |α|*|β|*e^i*[arg(α) + arg(β)}
だろうから、
αβ = 0 は、|α| または |β| の少なくとも一方が零、と等価。

回答No.10

tmpname

> 複素数の積の分配律と結合律を既知とするなら、
正しくは「複素数の積の可換律と結合律を既知とするなら」です。

お礼

回答ありがとうございます。
そんな方法もあったんですか！目から鱗です。
共役である複素数どうしの性質からこんな簡潔な解答がでるんですね。また機会がありましたらご教示宜しくお願いします:)

回答No.9

tmpname

だれもこういう回答をしてないので...

αの複素共役をα'で書くことにすれば、

αβ=0 なら (αβ)(α'β') = 0 * (α'β') = 0であるが、
(αβ)(α'β') = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) [ =|α|^2 |β|^2 ] となるから、（複素数の積の分配律と結合律を既知とするなら、(αβ)(α'β') = (αα')(ββ') = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) とすればよい。そうでなくても(αβ)(α'β') を真面目に計算して因数分解すればでる）
a^2 + b^2 = 0又は c^2 + d^2 = 0 （つまり|α|^2 = 0または |β|^2 = 0）（の少なくとも一方が成り立つ）

よって、a = b = 0 又は c = d = 0（の少なくとも一方が成り立つ）

回答No.8

info222_

No.3,No.7です。

ANo.7の補足コメントの質問の回答

失礼しました。
指摘の通り、a≠０の場合ですから, a=b=0はありえませんね。

------------------------------------------------------------------------------------------
>>>a≠0のとき
>>>　(1),(2)より a(bc+ad)=acb+da^2=b^2・d+da^2=d(b^2+a^2)=0

a≠0なので　b^2+a^2>0であるから
>>この式から
>>d=0 または b^2+a^2=0 ←　削除

d=0

>>が得られます。
>後者から　a=0かつb=0　が成り立ちます ←　削除
なので
~~~~~~ここから~~~~~~~~~~
>>または
>>a=b=0のとき α=a+b i=0 が得られます。
>>なのでa≠0の場合をまとめると　α=0またはβ=0 が成り立つことになります。
~~~~~ここまで　削除 ~~~~~

>とのことでしたが、
>a≠0のときにa=0かつb=0となるのは矛盾しているように見えます。

仰せの通りです。上述のように該当箇所を削除してください。

>これらの場合分けは
>(a≠0かつ)d=0の場合と(a≠0かつ)a=b=0の場合だと感じたのでそう考えたのですが、
>この部分についてご教示頂けるでしょうか。

a≠0の場合と a=0の場合の場合分けだけです。
a≠0の場合は　d=0 → c=0　が導け　β=0が得られます。
あるいは
a=0の場合は b=0またはc=d=0 が導け α=0またはβ=0　が得られます。

これらの2つの場合をあわせれば
αβ=0 → (1)および(2) → α=0またはβ=0
が証明ができたことになります。

お礼

回答ありがとうございます。
おかげでわだかまりもとけました。
稚拙な質問でありましたが、丁寧な解説を頂いて、考えていた以上に問題が理解できたと思います。
また機会がありましたらご教示頂ければ幸いです。
ありがとうございました:)

回答No.7

info222_

No.3です。

ANo.3の補足コメントの回答

>あと、場合分けについてなんですが、
>(1)a≠0のとき
>i)d=0のとき
>(2)a=0のとき
>この場合分けの理由がよくわかりませんでした。

>ac-bd=0...(1) かつ bc+ad=0...(2)

(1)式から ac=bd
このacを(2)に代入するために
(2)にacの項を作るためaを掛ける操作をします。
この操作で(2)式の両辺にゼロを掛けると(2)式との同値関係が崩れますので
aを掛ける操作ではa=0のケースは除外し、別途a=0の場合を扱う必要があります。
したがって、a≠0とa=0の場合わけをする必要があります。

>(2)式にaを掛けると
このときは、式変形の同値関係を保つために　a≠0 としないといけないです。

>a≠0のとき
>　(1),(2)より a(bc+ad)=acb+da^2=b^2・d+da^2=d(b^2+a^2)=0

この式から
d=0 または b^2+a^2=0
が得られます。
後者から　a=0かつb=0　が成り立ちます。
したがって

>　d=0またはa=b=0
が導けます。
なので d=0の場合とa=b=0の場合とに場合わけして調べます。

>　d=0のとき
> (1)より ac=0 → a≠0より　c=0 → β=c+d i=0　が得られます。
または
a=b=0のとき α=a+b i=0 が得られます。
なのでa≠0の場合をまとめると　α=0またはβ=0 が成り立つことになります。

または
>a=0のとき
この場合は(2)式を別途にとり扱う必要があります。
この場合は
>　（1),(2)より　bd=bc=0 → b=0またはc=d=0 → α=0またはβ=0
という結果が導けます。

以上から、αβ=0から導ける　(1)と(2)式が成り立てば

a≠0とa=0の場合をまとめて
　α=0またはβ=0
が成り立つことがいえることになります。

補足

補足回答ありがとうございます。
ようやく理解が進んできました。
ほとんど腑に落ちたのですが、一点だけ質問してもよろしいでしょうか。夜分に度々失礼します。

>>a≠0のとき
>>　(1),(2)より a(bc+ad)=acb+da^2=b^2・d+da^2=d(b^2+a^2)=0

この式から
d=0 または b^2+a^2=0
が得られます。
>後者から　a=0かつb=0　が成り立ちます

とのことでしたが、
a≠0のときにa=0かつb=0となるのは矛盾しているように見えます。
これらの場合分けは
(a≠0かつ)d=0の場合と(a≠0かつ)a=b=0の場合だと感じたのでそう考えたのですが、この部分についてご教示頂けるでしょうか。
お時間がある時で構いません。
どうかよろしくお願い致します。

回答No.6

178-tall

なかなか…。

　[ c ; d ] = (1/D) * [ a　b ; -b　a ] * [ 0 ; 0 ]
　= [ 0 ; 0]

お礼

回答ありがとうございます。
そういう方法もあるんですね！
参考にさせていただきます！

回答No.5

178-tall

式表示の錯誤を訂正。

「連立方程式」だと、
　α, β の一方が零 → αβ= 0
　α, β の一方が非零
　→ たとえば α≠0 なら、
　　　↓　
　ac-bd=0
　bc+ad=0
　にて、D=a^2+b^2 は非零。
　よって、

　[ c ;　　 (1/D) * [ a　b　;　 [ 0　; [ 0 ;
　　d ]　=　　　　　 -b　a ] *　 0 ]　 =　 0 ]

つまり β= 0 を得る。

回答No.4

178-tall

>p.f.
>α=a+bi,β=c+diとおいて
>αβ=(a+bi)(b+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0
>よって、複素数が等しいための定義から
>ac-ad=0...(1)，bc+ad=0...(2)

「極形式表示」で考えるのが判りやすそう。

「連立方程式」だと、
　α, β の一方が零 → αβ= 0
　α, β の一方が非零
　→ たとえば α≠0 なら、
　　　↓　
　ac-bd=0
　bc+ad=0
　にて、D=a^2+b^2 は非零。
　よって、
　[ c ;　　[ a　b　;　　　　　 [ 0　;
　　d ]　=　-b　a ] * (1/D)　=　 0 ]
つまり β= 0 を得る。

回答No.3

info222_

>α=a+bi,β=c+diとおいて
>αβ=(a+bi)(b+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0 ←間違い

αβ=(a+bi)(c+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0

>ac-ad=0...(1)，bc+ad=0...(2) ←間違い

>ac-bd=0...(1)，bc+ad=0...(2) ←　不正確

ac-bd=0...(1) かつ bc+ad=0...(2)

a≠0のとき
　(1),(2)より a(bc+ad)=acb+da^2=b^2・d+da^2=d(b^2+a^2)=0
　d=0またはa=b=0
　d=0のとき (1)より ac=0 → a≠0より　c=0 → β=c+d i=0
a=0のとき
　（1),(2)より　bd=bc=0 → b=0またはc=d=0 → α=0またはβ=0

以上から　α=0またはβ=0

補足

回答ありがとうございます。
かつ と書いた方が厳密ですね。
ご教示ありがとうございます。

あと、場合分けについてなんですが、
(1)a≠0のとき
i)d=0のとき
(2)a=0のとき
この場合分けの理由がよくわかりませんでした。
お時間がありましたら解説頂けると嬉しいです。
よろしくお願い致します。

回答No.2

bran111

A)　αβ=0 ⇒ α=0またはβ=0

>∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0 (1)

これが成り立つためには

ac-bd=0 (2)

bc+ad=0 (3)

(2),(3)が同時に成り立たねばならない。

(2)より

ac=bd (2)'

(3)より

bc=-ad (3)'

1）α=a+bi=0のときa=b=0

このとき(1)が成り立つ。

2）α=a+bi≠0のとき少なくとa,bのうちどちらかは0でない

i)a=0,b≠0のとき(2)’よりd=0,(3)'よりc=0
よって
β=c+di＝0

ii)a≠0,b=0のときi)と同様にして
β=c+di＝0
が導ける。

iii)a≠0,b≠0のとき
a)c=0と仮定すると(2)',(3)'よりｄ=0よって
β=c+di＝0
が導ける。
b)c≠0とすると(2)'または(3)'よりd≠0
このとき(2)',(3)'の辺々を掛け合わせると
abc^2=-abd^2 (4)
a≠0,b≠0なので(4)は
c^2+d^2=0 (5)
c,dは実数であって、c≠0、d≠0の場合は(5)は成り立たない。
よってc=d=0,
従って
β=c+di＝0
が成り立つ。

B)　α=0またはβ=0 ⇒ αβ=0

α=0 ⇒ a=b=0 ⇒ (1)が成り立つ。⇒ αβ=0

補足

回答ありがとうございます。
質問なのですが、

>1）α=a+bi=0のときa=b=0

このとき(1)が成り立つ。

α=a+bi=0は示すべきものだと思うのですが、
これを仮定に置いていいのでしょうか？

お時間がありましたら、ご教示いただけると嬉しいです。