同次形微分方程式について

質問

(x^3-3y^2)x+(3x^2-y^2)y(dy/dx)=0　　　解：(x^2+y^2)^2=C(x^2-y^)
の問題なのですが、
y=xvとおいて同次形でといていったところ、

∫1/xdx=∫(-v^3+3v)/(v^4-1)
となってしまい、
右側の∫(-v^3+3v)/(v^4-1)
をどのように式変形すれば解けるのかがわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.7

Mr_Holland · ベストアンサー

＃５です。
　お礼をどうもありがとう。

＞両辺にx^2をかけて、(y^2/x^2+1)も簡単にするため両辺にかけて
＞x^3=±Ｃ√(y^2x^2-x^4)/(y^2/x^2+1)・・・・(4)
＞(y^2/x^2+1)x^3=±Ｃ√(y^2/x^2-x^4)・・・・(4)'

　(4)'で右辺のルートの中身を間違えてしまったようですね。
　x＝±C√(t-1)/(t+1)からの式変形は、先ず両辺を自乗することから始めて±とルートを同時に取ったほうが楽ですよ。

　　x＝±C√(t-1)/(t+1)
　⇔x^2＝C^2(t-1)/(t+1)^2　　←両辺を自乗
　⇔(t+1)^2 x^2＝C^2(t-1)　　←両辺に(t+1)^2を掛ける
　⇔(v^2+1)^2 x^2＝C^2(v^2-1)
　⇔{(y/x)^2+1}^2 x^2＝C^2{(y/x)^2-1}
　⇔(y^2+x^2)^2＝C^2(y^2-x^2)　　←両辺にx^2を掛ける
　⇔(x^2+y^2)^2＝C(x^2-y^2)　　←-C^2をCに置き換える

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
両辺を自乗することから始めたところ、とても計算が楽になりました。
⇔{(y/x)^2+1}^2 x^2＝C^2{(y/x)^2-1}
に両辺にx^2をかけて、「左辺」は
{(y/x)^2+1}^2 x^4＝(y^2+x^2)^2
になるのは、展開してやっと気がつきました。
いつもいつも、丁寧な回答感謝しています。

回答No.6

Tacosan

(4)→(4)' で思わず / を入れちゃったことと, (5)→(6) でつい ^2 を見落としていた?

お礼

回答ありがとうございます。
計算ミスと計算の手順が違ったようです。
やり直してみたらとけました。
お騒がせしました

回答No.5

Mr_Holland

この問題、最初の方程式と解に1箇所ずつ誤記がありませんか？

＞(x^3-3y^2)x+(3x^2-y^2)y(dy/dx)=0　　　解：(x^2+y^2)^2=C(x^2-y^)
　(x^2-3y^2)x+(3x^2-y^2)y(dy/dx)=0　　　解：(x^2+y^2)^2=C(x^2-y^2)
だと思うのですが。
　この問題でしたら、rabbit_catさんの的確なヒントで導けると思います。

＞1/xdx=1/2(-t+3)/(t^2-1)dt
＞1/2[-1/2・2t/(t^2-1)+3/(t^2-1)]
＞1/2[-1/2log(t^2-1)+3/2log|t-1|/|t+1|]
＞なのでしょうか？

　これはこれでよいのですが、右辺をまとめるのに少し手間がかかります。右辺の積分は部分分数に分解すると計算が楽になります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3

　(-t+3)/(t^2-1)がa/(t-1)+b/(t+1)に分解できるとすると、
　　a/(t-1)+b/(t+1)＝{(a+b)t+(a-b)}/(t^2-1)
なので、a+b=-1, a-b=3。したがって、a=1, b=-2。
　だから、
　　∫1/2(-t+3)/(t^2-1)dt
　＝1/2 ∫{1/(t-1)-2/(t+1)}dt
　＝1/2 {log|t-1|-2log(t+1)}+C
　＝log{√(t-1)/(t+1)}+C
　あとは、この式がlog|x|と等しいことから、
　　x＝±C√(t-1)/(t+1)
　この式の両辺に(t+1)をかけてから２乗し、t=v^2, v=y/xを入れてさらに両辺にx^2をかけてCの符号を逆にすれば、
　　(x^2+y^2)＝C(x^2-y^2)
が得られると思います。

お礼

回答してくださってありがとうございます。
まず、問題と回答を誤ってしまったことをお詫びします。
訂正してくださったとおりの答えと問題でした。
混乱させてしまい申し訳ありませんでした。
今後気をつけます。
.
x＝±C√(t-1)/(t+1)・・・・・(1)
は
にt=v^2,を代入して
x=±Ｃ√(v^2-1)/(v^2+1)・・・・(2)
.
v=y/xを代入して
x=±Ｃ√(y^2/x^2-1)/(y^2/x^2+1)・・・・(3)
.
両辺にx^2をかけて、(y^2/x^2+1)も簡単にするため両辺にかけて
x^3=±Ｃ√(y^2x^2-x^4)/(y^2/x^2+1)・・・・(4)
(y^2/x^2+1)x^3=±Ｃ√(y^2/x^2-x^4)・・・・(4)'
.
両辺を２乗して、
(y^2/x^2+1)^2x^6=Ｃ^2(y^2/x^2-x^4)・・・・(5)
.
整理して、
(y^2+x^2)x^4=C^2(y^2/x^2-x^4)・・・・・・(6)

x^4を両辺にかけて、
(y^2+x^2)=C^2(y^2/x^6-1)・・・・・・・(7)

となってしまい、
(x^2+y^2)＝C(x^2-y^2)
と異なる答えがでてきてしまいます。
どこの計算過程で間違ってしまったのかわかりません
もし、時間があれば教えてください。

回答No.4

rabbit_cat

それでいいと思います。積分定数が必要ですけど。

お礼

返事遅れてしまい、ごめんなさい。
さっそく解いてみます。
長々と付き合ってくださいありがとうございました

回答No.3

rabbit_cat

dt = 2vdv でした。

お礼

1/xdx=1/2(-t+3)/(t^2-1)dt
1/2[-1/2・2t/(t^2-1)+3/(t^2-1)]
1/2[-1/2log(t^2-1)+3/2log|t-1|/|t+1|]
なのでしょうか？

回答No.2

rabbit_cat

dt = v*dv
を忘れてないですか？

回答No.1

rabbit_cat

t=v^2 と変数変換する

お礼

∫1/xdx=∫(-v^3+3v)/(v^4-1)を
教えていただいたとおりやってみましたが、
∫1/xdx=∫±(-t+3)√t/(t^2-1)
となりました。
この後どうすればいいのでしょうか