同次系微分方程式の解き方を教えてください

質問

x*y + (x^2 + y^2)*(dy/dx) = 0
上の同次形微分方程式を解け。と言う問題があって
自分では↓のように解こうとしたんですが答えを出せませんでした。

(dy/dx) = - (x*y) / (x^2 + y^2)
右辺の分母と分子をx^2で割って
(dy/dx) = - (y/x) / (1 + (y/x)^2) ・・・・・(1)

(y/x)=uとおくと
y=u*x
y'=u+u'*x ・・・・・・・(2)

また(y/x)=uを式(1)に代入して
y' = - (u) / (1 + u^2) ・・・・・・・(3)

(2)と(3)式より
u+u'*x = - (u) / (1 + u^2)
u'*x = (- (u) / (1+u^2)) - u
u'*x = (- (u) / (1+u^2)) - ((u+u^3) / (1+u^2))
u'= - ((2*u + u^3)/(1+u^2)) * (1/x)

((2*u + u^3)/(1+u^2))の部分をきれいにできなくて計算できません。
そこをきれいにして変数分離系として解けみたいに書いてあるんですが
これ以上計算ができません。
途中でもっと他のやり方があるんでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.1

i536 · ベストアンサー

惜しいです、もう一歩すすめて下さい。

((1+u^2)/(2*u + u^3))du=-(1/x)dx

(1/2)*{(1/u)+(u/(2+u^2))}du=-(1/x)dx

(1/2)*{(1/u)+(1/2)*((2u)/(2+u^2))}du=-(1/x)dx

あとは両辺を積分します。

お礼

回答ありがとうございます。
途中の計算でつまんないミスしてて
ずっと悩んでたんですが
やっと答え出ました。