同次形微分方程式について

質問

同次形微分方程式がわかりません

（１）
(3x+2y-5)y'=2x-3y+1
と
（２）
(x+y+1)+(2x+2y-1)y'=0
の解き方なのですが、解どおりになりません。

座標軸の平行移動を行った後に、
同次系に直して積分すると
(1)は
logx+c==-1/2log(2v^2-6v+2)
で解の
y^2+3xy-x^2-x-5y
と違う間違った解になってしまい

(2)はx+y=u
(1+y'=u')と置いて解いていくと
(u+1)(2u-1)(u'-1)=0
u'=1
で解の
3log(x+y-2)+x+2y=c
と違う間違った解になってしまいます。

どこが間違っているのかわかりません。
どなたかアドバイス御願いします

・追伸
この間の別の質問の件で回答してくださった方へ。
質問の仕方が悪かったので、削除対象になってしまいお礼ができませんでした。申し訳ありません。
回答は大変助けになり感謝しています

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

(1)
3x-2y-5=0
2x+3y-1=0
をみたす(1,1)が原点になるように取り直した座標を
X=x-1
Y=y-1
とします．計算を進めると
> logx+c=-1/2log(2v^2-6v+2)
でなく
logX+C=(-1/2)*log(2v^+6v-2)　ただしv=Y/X
となるはずです．xでなくXです．
log(X√(2v^+6v-2))=-Cから
X√(2v^+6v-2)=e^(-C)=C'　
X^2(v^+3v-1)=(C')^2/2=C''
これをx,yに戻すと
y^2-x^2+3xy-x-5y+3=C''
となるので
y^2-x^2+3xy-x-5y=C''-3=C'''
を得ます．
C'などは式が簡単になるように積分定数を取り直しているだけです．

(2)は計算ミスで，x+y=uとおいたなら
> (u+1)(2u-1)(u'-1)=0
でなく
u+1 + (2u-1)(u'-1)=0
になります．あとは変数分離して終わりです．

お礼

とても丁寧で、わかりやすい解説ありがとうございます。
(2)の計算ミスは申し訳ありませんでした。
致命的で恥ずかしい・・。
焦っていたらしく、全く気づきませんでした。
また何か質問するかもしれませんが、その時は宜しく御願いします。
ありがとうございました