微分方程式について

質問

dy/dx=√yの解でx=0のときy=0を満たすものが無数に存在することを示せ。
…という問題についてですが、dy/dx=√yをいろいろと変形させたりしてはいるのですが無数に存在することの示し方がわかりません。
誰か解いてみていただけませんか?

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

授業で解の一意性を扱ったなら、必ず、リプシッツ条件ってやつもでてきたと思います。√yは、y=0の近傍でリプシッツ条件を満たしていません。
そこをうまくついてください。

ヒント
y=0 ていう解が存在することは明らかです。
で、任意のx>0から、dy/dx=√yにそって、曲がるような解を考えると。。

回答No.1

inara

無数どころか、１つしかないように思えますが。
t = √y とおくと( 0 < t, 0 < y )、t' = y'/( 2*√y ) だから、√y = y'/( 2*t' )
これを元の微分方程式に代入すれば、y' = y'/( 2*t )　→ t' = 1/2　→ t = x/2 + C = √y　→ y = ( x/2 + C )^2
x = 0 のとき、y = C^2 ですから、これがゼロとなるのは、C = 0 のときしかないように思えますが・・・