同次形だと思うのですが・・

質問

2(√(xy)-x)dy+ydx=0
の問題なのですが、
y=xv ,dy/dx=v+xdv/dxとして
　2(√(xy)-x)dy+ydx=0
⇔2(√(y/x)-1)dy+y/xdx=0　←両辺に1/xをかける
⇔dy/dx=-(y/x)/{2√(y/x)-1}←式を整理してdy/dx=...にする
⇔v+xdv/dx=-v/(2√v-1)　　←y=xv dy/dxを代入
⇔xdv/dx=-2v√v/(2√v-1)
⇔1/xdx=2√v-1/(-2v√v)dv
この後右辺がうまくまとめられなくて困っています。
どなたか教えてください。

回答No.5

noname#26313 · ベストアンサー

右辺=∫{2√(v)-1}/(-2v√v)dv=-∫(1/v)dv+(1/2)∫(v√v)dv
ですから、後は簡単な積分ですね。

お礼

(1/√v)'=-1/2v√vだということをすっかり忘れてました。
微積ができてないことに自分でもショックです。
お騒がせしてすみませんでした。

回答No.4

inara

⇔dy/dx=-(y/x)/{2√(y/x)-1}←式を整理してdy/dx=...にする　→ /[ 2｛√(y/x)-1} ] じゃないですか？
あとは√v=uとおいて対数積分で解けるはずです。

お礼

（1/√v)'=-1/2v√vだということに、
気づかなかったために解けなかったようです。
やり直してみたところ解けました。
回答ありがとうございました

回答No.3

noname#26313

失礼!!.

同じ質問者の
http://otasuke.goo-net.com/qa2719896.html
の質問の回答と取り違えました。

回答No.2

noname#26313

二行目の変なコメントは取り消しです。忘れてください。

回答No.1

noname#26313

置換の仕方を工夫します。
同次なので、変数の比を新たな変数に置き換えます。

y=v/x (dy/dx={(-v/x^2)+(1/x)・(dv/dx)})とする。

(v/x)^2+(v-1){(-v/x^2)+(1/x)dv/dx}=0
(v/x)^2-(v^2/x^2)+(v/x^2)+{(v-1)(1/x)dv/dx}=0
(v/x^2)+{(v-1)(1/x)dv/dx}=0
v/(v-1)+(x)dv/dx=0
v/(v-1)dx=-(x)dv/dx
(1/x)dx={(1-v)/v}dvでどうですか