ダランベールの微分方程式

質問

以下の問題がわかりません。

問．
次のダランベールの微分方程式を解きなさい。
y=2x(dy/dx)+(dy/dx)^2

答え．
3(x^2)(y^2)+4y^3=C(4x^3+6xy+C) C:任意定数
y=0 (特殊解)

質問は大きく２つあります。

１点目。
p=(dy/dx)　と置いて両辺をｘで微分し、解の公式を用いて式変形を行うと、以下の連立方程式となりました。

y=2px+p^2
3xp^2+2p^3=C

この２式からpを消去すると答えが得られると思うのですが、
どのようにpを消去すればよいかわかりません。

２点目。
y=0 (特殊解)
が何なのかわかりません・・・。
解答にはどのように記載して特殊解を求めればよいのでしょうか。

以上、２点の質問にお答え頂けるととても助かります。
お手数ですが、よろしくお願い致します。

回答No.1

apollonius · ベストアンサー

以下のように式に番号を付けます。

　y=2xp+p^2　　…(1)
　3xp^2+2p^3=C　…(2)

(1)式から、

　p^2=y-2xp　…(3)

これを(2)式に代入して、

　3x(y-2xp)+2p(y-2xp)=C
⇒3xy-6x^2p+2py-4xp^2=C

p^2のところに再び(3)式を代入して、pについて解くと、

　p=(xy+C)/2(x^2+y)　…(4)

となります。これを(1)式に代入して、

　y=p(2x+p)
　 =((xy+C)/2(x^2+y))(2x+(xy+C)/2(x^2+y))
　 =((xy+C)/2(x^2+y))((4x^3+5xy+C)/2(x^2+y))

分母を払って整理すると、

　3x^2y^2+4y^3=C(4x^3+6xy+C)　…(5)　(答)

となります。

特殊解とは、一般解((5)式)の定数Cに特定の値を入れたときの解
のことをいうので、Cの値に応じて無数にあるわけですが、いまの
場合、C=0を代入すると、(5)式は、

　3x^2y^2+4y^3=0
⇒(3x^2+4y)y^2=0　…(6)

となるので、解は、

　y=0　…(7)

または、

　y=-(3/4)x^2　…(8)

となります。もちろん、他にもCの値を変えれば、無数に特殊解が
あります。

ちなみに、「特異解」を求めるには、(5)式の包絡曲線を求めれば
よいので、(5)式をCで偏微分した式において、

　∂y/∂C=0

とおき、これと(5)式からCを消去します。これを計算すると、

　y=-x^2

となりますが、この式は与式((1)式)を満たさないので、特異解は
無いことになります。

お礼

非常にわかりやすいご解答、ありがとうございます。
本当によくわかりました！！

質問をした連立方程式がどうやっても解けなかったので、
この解答を見たとき、感動すら覚えました。

本当にありがとうございます！！！