微分方程式(同次系)について

質問

同次形ってのが本を読んでもいまいちよくわからないのですが、

xy'=y+xってものは、

y’＝y/x+1

dy/dx= y/x+1 なので、これが同次であるのはわかるのですが、

今解いている問題なんですが、

xyy"-x(y')^2+y^2=0
はyについて同次って書いてあるんですが、yについて同次であるとは
どういったことになるのでしょうか？

すみませんが、ご教授ください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

y, y', y'' を変数のように見ると、yy"は２次、(y')^2も２次、y^2も２次ということです。このとき y=exp(z) とおくと微分方程式はzを含まず、一つ階数の低い方程式に帰着されます。問題の方程式の場合は z' も含まず、
　x z'' + 1 = 0
になります。

お礼

言われてみれば、全ての項にyの変数が2個づつありますね。y＝exp(z)とおけばうまい具合に計算できるような形になるんですね。ありがとうございます。わかりやすかったです。