1階非同次微分方程式の一般解について

質問

1階非同次微分方程式の一般解の解釈について不明点がございます。

一般化した1階非同次微分方程式：y' + p(x)y = q(x)の一般解は

y = e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + ce^(-∫p(x)dx)

で表されるのは理解できるのですが、この一般解が非同次微分方程式の特殊解と同次微分方程式の一般解の和になっていることが理解できません。
つまり右辺の1項目、e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx　が非同次方程式の特殊解になる理由がわかりません。

個人的に考えるに右辺の2項目のcが-∞～∞まで全ての値をとることが可能なので
c=0の場合に、右辺の1項目は非同次方程式の特殊解になる、と勝手に推測しているのですがその考えでよろしいでしょうか？

どなたかその辺詳しい方がいらっしゃいましたら是非ご教授お願い致します。

回答No.3

noname#221368

#1さんの応えへの補足です。

　まず、非同次微分方程式の一般解が、「常に」、

＞非同次微分方程式の特殊解と同次微分方程式の一般解の和になっている・・・

のは、線形微分方程式の場合だけです。なので、ご質問の趣旨は、「1階非同次線形微分方程式の一般解について」になるかと思います。

　次の一般定理があります（線形とは限りせん）。

［１］
　ｎ階の微分方程式を満たす解関数のうち、ｎ個だけの任意定数を含む解関数が、その微分方程式の一般解である．

　次は、線形微分方程式一般の性質です（ｎ階でも同様に成り立ちます）。

［2］
　関数u(x)が、y' + p(x)y = q(x)を満たし、関数v(x)が、y' + p(x)y = r(x)を満たすなら、u(x) + v(x)は、y' + p(x)y =q(x) + r(x)を満たす．

　線形微分方程式の場合は、y' + p(x)y = 0の一般解、c・f(x)をまず求めておいて（cは任意定数）、後でy' + p(x)y = q(x)を満たす解g(x)を何でも良いから、一つ見つければ、c・f(x) + g(x)は、y' + p(x)y = q(x)を満たし（［2］より）、しかも任意定数を一個だけ含んでいるので、一般解だという訳です（［1］より）。

　この時、g(x)は任意定数を含めません。もしg(x)が、d・g(x)（dは任意定数）なら、c・f(x) + d・g(x)は、［1］より、二階の微分方程式の一般解になってしまうからです。g(x)が任意定数を含まないという意味で、明らかに一般解でないので、特殊解と呼ぶだけです。

回答No.2

Ae610

ANo1です。
スミマセン。下から7行目
---斉次方程式(1)の解は-----
・・・は、言い方が不足していました。
---(1)でq(x)=0とした斉次方程式の解は---
と訂正させて頂きます。

回答No.1

Ae610

細かい事かも知れないが用語について、
「非同次」→「非斉次」、「同次」→「斉次」・・・だと思う。

dy/dx + p(x)y = q(x)・・・(1)
u(x)をこの(一階非斉次微分)方程式の既知なる解として
y=uzと置いて未知関数をyからzに変えると
dy/dx=du/dx・z+u・dz/dx
よって(1)に代入して
du/dx・z+u・dz/dx+P(x)uz=q(x)
∴(du/dx+P(x)u)z+u・dz/dx=q(x)・・・(2)
ここでu(x)は(1)の解なのでdu/dx+P(x)u≡0である。
よって(2)は
u・dz/dx=q(x)
∴z=∫(q(x)/u(x))dx+C
従って
y=u(x){∫(q(x)/u(x))dx+C}

斉次方程式(1)の解はC0・exp(-∫p(x)dx)であるが、その一つをu(x)
とすればよいのだから、C0=1として
u(x)=exp(-∫p(x)dx)とする。
なので非斉次方程式(1)の一般解が
y=exp(-∫p(x)dx)｛∫(q(x)exp(∫p(x)dx)+C｝
=exp(-∫p(x)dx)・∫(q(x)exp(∫p(x)dx)+C・exp(-∫p(x)dx)
で表される。