同次形の微分方程式

質問

おそらく同次形の一階の微分方程式の問題で

xy' = y + √(x^2-y^2)

というもんだいをといてみました（勝手に同次形で・・・ｗ）

最終的に

arcsin(y/x) = log|x| + C (C;a.c)

とまでいったので±e^(-C)=αとして

x = α exp(arcsin(y/x))

にしたんですけども解答では

y + √(y^2 + x^2) = βx^2

という形になっているのですが、どうしたらこんな形の一般解を
導くことができるのでしょうか。
アドバイスお願いします！

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんと同意見です。
　解答の「y + √(y^2 + x^2) = βx^2」をｙについて解いてもとの式に代入してみれば分かりますが、ルートの中が「＋」でないと成立しません。
　　ｙ　＝βx^2/2-1/(2β)
　　ｙ’＝βx

　ちなみに、「－」のほうは質問者さんと同じ答えになりました。

お礼

どうもありがとうございます。やってみます！

回答No.1

endlessriver

おそらく、元の式が
xy' = y + √(x^2 + y^2)
では？

お礼

どうもありがとうございます。
教科書の問題のミスですかね。。。ｗ
やってみます！