同次形微分方程式

質問

次の問題がわかりません。
次の微分方程式を解け。
(1)(x-y)(dy/dx)=2y
(2)dy/dx=y/x+sin(y/x)

(1)(x-y)(dy/dx)=2y
(dy/dx)=2y/(x-y)　右辺の分母分子をxで割る
(dy/dx)=2y/x/(1-y/x)
y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより
u+xdu/dx=2u/1-u
xdu/dx=2u/1-u -u
xdu/dx=u+u^2/1-u
(1-u)du/(u+u^2)=dx/x　両辺を積分
の左辺の積分がわかりません。それかもっといい方法あったら
教えてください。
(2)y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより
u+xdu/dx=u+sinu
xdu/dx=sinu
du/sinu=dx/x 両辺を積分
の左辺の積分がわかりません。お願いします。

回答No.1

info22

(1)
>(1-u)du/(u+u^2)=dx/x　
(1-u)/(u+u^2)=(1/u)-2/(u+1)
ですから、
log|u|-log((u+1)^2)=log|x|+C
log|u/{x(u+1)^2}|=C
後はu=y/xを代入して整理して下さい。

(2)
>du/sin(u)=dx/x 両辺を積分
1/sin(u)=sin(u)/{sin(u)}^2
={cos(u)}'/[1-{cos(u)}^2]
=(1/2){cos(u)}'*[1/{1-cos(u)}+1/{1+cos(u)}]
なので
(1/2)log[{1-cos(u)}{1+cos(u)}]=log|x|+C
log|sin(u)|=log|x|+C
後はできますね。