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微分方程式
(x-y-1)dx - (x+y+3)dy = 0 がうまく変形できません。同次形らしいのですが・・・。 アドバイスなどをおねがいします。
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>X=x+1,Y=y+2とおけば・・・・の部分 >これはドコから出てきたのですか？ 実は、Lone07さん自身が書かれた質問の中の "同次形らしいのですが・・・"をヒントとしてもらいました。 そこで定数部分{-1,+3}を無くして同次形になるように、 下記(1)(2)を同時に満足する、a,b,c,d,X,Yを決めました。 a=1,c=1,d=1はすぐわかりますよね。 x-y-1=a*(X+b*Y) ---(1) x+y+3=c*(X+d*Y)---(2)
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- keyguy
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出題者が期待している方法がでないので余り好ましくないその方法を教えましょう。 f(x,y)=x-y-1 g(x,y)=-x-y-3 とすると問題式は f(x,y)・dx+g(x,y)・dy=0 である。 ∂f(x,y)/∂y=-1 であり ∂g(x,y)/∂x=-1 であり ∂f(x,y)/∂y=∂g(x,y)/∂x であるから問題式は全微分形である。 すなわち 適当なF(x,y)が存在して問題式は dF(x,y)=0 と等価である。 dF(x,y)=(∂F(x,y)/∂x)・dx+(∂F(x,y)/∂y)・dy であるから ∂F(x,y)/∂x=f(x,y) かつ ∂F(x,y)/∂y=g(x,y) をとけばいいのである。 F(x,y)=Cが答となる。 この方式のまずいのは全微分形でない場合には一般的解法が無いのである。 その場合は適当な関数をかけて無理矢理全微分形にする方法が採られる。
お礼
好ましくないって・・・ぇ？ｗ とりあえず、今は微分方程式を習いはじめたばかりなので、もう少し時間を置いてから見ることにします。 回答どうもありがとうございました。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
Ａ＝ ［１ １］ ［１ －１］ は２×２の行列 Ｂ＝ ［３］ ［－１］ は２次の縦ベクトル ｚ＝ ［ｘ］ ［ｙ］ は２次の縦ベクトル なお ｄｚ／ｄｔ＝Ａ・ｚ＋Ｂ は線形代数の知識があれば簡単に解くことができその解は公式にすらなっています。
お礼
回答どうもありがとうございました。 とりあえず、現段階では線形代数も途中なので、いったん保留にしておきます。分からなかった時はもう一度あらためて質問しますので、その時はもう一度おねがいしますm( _ _ )m 一応同次形で解けたので・・・・ｗ
- i536
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(x-y-1)dx - (x+y+3)dy = 0 ---(1) X=x+1,Y=y+2とおけば、dX=dx,dY=dy より、 与式(1)は、(2)となり、更に変形して(3)を得ます。 (X-Y)dX=(X+Y)dY ---(2) dY/dX=(X-Y)/(X+Y)---(3) Y=XZ とおけば、dY/dX=Z + X*dZ/dXより、(3)から(4)を得ます。 Z + X*dZ/dX = (1-Z)/(1+Z)---(4) 次に、(4)を以下のようにして解きます。 dZ/((1-Z)/(1+Z)-Z)=dX/X -((1+z)*dZ/(Z^2 +2*Z -1))=dX/X -log|Z^2+2*Z -1|/2=logX +C Z^2+2*Z -1=C/X^2---(5) (5)の両辺にX^2を掛けて、X=x+1,Y=y+2に戻すと、 与式(1)の解(6)が求まります。 (y+2)^2 +2*(y+2)*(x+1) -(x+1)^2 = C.---(6)
お礼
回答ありがとうございます。 おかげさまで、解くことができました。 ・・・が１ヶ所だけ、おねがいします。 ２行目 X=x+1,Y=y+2とおけば・・・・の部分 これはドコから出てきたのですか？
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
非技巧的方法 ｄｘ／（ｘ＋ｙ＋３）＝ｄｙ／（ｘ－ｙ－１） だから＝ｄｔとおき ｄｘ／ｄｔ＝ｘ＋ｙ＋３ ｄｙ／ｄｔ＝ｘ－ｙ－１ ここで Ａ＝ ［１ １］ ［１ －１］ Ｂ＝ ［３］ ［－１］ ｚ＝ ［ｘ］ ［ｙ］ とすると ｄｚ／ｄｔ＝Ａ・ｚ＋Ｂ これはシステマティックに解けますね ｘ＝ｆ（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ） となるから このままでもいいしｔを消去してもいい ｔを消去してしまうのは素人ですが
お礼
回答ありがとうございます。 ６行目～ Ａ＝ ［１ １］ ［１ －１］ Ｂ＝ ［３］ ［－１］ ｚ＝ ［ｘ］ ［ｙ］ この部分の意味がわからないんです。これはどういう意味ですか？ m( _ _ )m おねがいします。
- suzu-mi
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こんにちは。 まず、両辺をｘで微分してください。 そうすると ｄｙ／ｄｘ の２次方程式になります。 その答えを積分するとｘ、ｙの関係が出るはずです。 アドバイスこんな感じでよいでしょうか？
お礼
回答ありがとうございます。 ・・・・が、微分！？ dxやdyはどのように微分すればイイのですか？ いきなりつまずいてしまいました＾＾；
お礼
あぁ、分かりました。「同次系」になるようにうまく連立させて解くんですか。 どうもありがとうございました。
補足
！Σ（￣口￣；； 漢字間違いました。 □＼(- -；) ハンセイ