微分方程式の問題

質問

y^2dx+(xy-1)dy=0　　解 xy=logy+c
の解き方なのですが、同次形で解いていったところ
.
y=xv (dy/dx=v+xdv/dx)とする。
　y^2dx+(xy-1)dy=0
⇔y^2+(xy-1)dy/dx=0　　←両辺にdxをかける
⇔(y/x)^2+(y/x-1/x^2)dy/dx=0 ←両辺に1/x^2をかける
⇔v^2+(v-1/x^2)(v+xdv/dx)=0 　←y=xv,dy/dxを代入
ここからxとvについてうまくまとめられません。
どなたか教えてください。

回答No.2

noname#26313 · ベストアンサー

y=v/x (dy/dx={(-v/x^2)+(1/x)・(dv/dx)})とする。

(v/x)^2+(v-1){(-v/x^2)+(1/x)dv/dx}=0
(v/x)^2-(v^2/x^2)+(v/x^2)+{(v-1)(1/x)dv/dx}=0
(v/x^2)+{(v-1)(1/x)dv/dx}=0
v/(v-1)+(x)dv/dx=0
v/(v-1)dx=-(x)dv/dx
(1/x)dx={(1-v)/v}dvでどうですか

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
Vの置き方は色々とあることがわかりました。
早速解いてみます。

回答No.1

eatern27

どこがどう同次形なのか分かりませんが、とりあえず、u=xyとすれば変数分離形になりますね。

お礼

回答ありがとうございます。
同次形と変数分離形間違えてました。
ご指摘の通りです。
早速解いてみます。