ベクトル（点と面の距離）

質問

平面（n,x）＝ｄと平面上にない点ｐとの距離を求めよ。
但し、||P||=10,||ｎ||=3,ｄ=8,(n,p)=-1である。ちなみにｎ,xはベクトルです。この問題が解けません。
点Pから平面に下ろした垂線を求めてやるようなのですがよくわかりません。
数学Bをとってなかったのでベクトルがよくわかず・・・
できればわかりやすい解答お願いします。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

点Pから，平面(n,x)=dにおろした垂線の足をQとし，PQの距離を求めればよいのですね．

まず，
・平面(n,x)=dの法線ベクトル（平面に垂直なベクトル）はnである．
ということを用います．これは，平面上の任意の2点
X=(x_1,x_2,x_3),Y=(y_1,y_2,y_3)に対し，
(n,X)=dかつ(n,Y)=dだから，(n,X-Y)=d，つまり，XYとnが垂直であることからわかります．

すると，平面(n,x)=dに垂直なベクトル↑PQは，実数kを使って
↑PQ=kn
と書けます．P,Qの位置ベクトルをp,qとすると
q-p=kn
ですね．両辺のnとの内積をとると
(n,q)-(n,p)=k||n||^2
となります．Qは平面(n,x)=d上の点だから，(n,q)=d=8,条件より(n,p)=-1,||n||=3ですから，それぞれ代入して，
k=1
となります．したがって，
||↑PQ||=||n||=3
です．

余計なお世話かもしれませんが，法線ベクトル，内積などがわからない場合，
高校の数学Bの教科書か参考書を読めば理解できると思いますよ．

お礼

詳しい説明ありがとうございました。ただ，(n,X-Y)=dのｄは0ではないのかと思いました。教科書読んで頑張ります。ありがとうございました。

回答No.2

lick6

>数学Bをとってなかったのでベクトルがよくわかず・・・
この問題は平面ベクトル、空間ベクトルを学んだあと演習で出てくるような問題です。
＃１さんのおっしゃるように何かしらの参考書などを購入して一通り理解してから再度挑戦することをおすすめします。