ベクトルを用いて点と直線の距離

質問

Pから直線lへ垂線を下ろし、
直線lとの交点をH(x1、y1)とする。
ベクトルHP=(x0-x1、y0-y1),
直線lの法線ベクトルn(a,b)は
どちらも直線lに垂直であるから,
HP//nである。したがって
HP・n=|HP||n|cos0°=|HP||n|
またはHP・n=|HP||n|cos180°=ー|HP||n|
より|HP・n|=|HP||n|

|HP・n|=|HP||n|でわからなくなります。
解説お願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

|HP・n|=|HP||n|でわからなくなります。
＞HP・n=またはHP・n=-|HP||n|
すなわちHP・n=±|HP||n|だから
|HP・n|=|HP||n|ということ。

お礼

お返事ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

>|HP・n|=|HP||n|でわからなくなります。

問題文を眺めても、何が「わからなく」なるのか…がわからないのです。

ベクトル HP=(x0-x1、y0-y1) が与えられているのなら、|HP・n|=|HP||n| など無用。
その長さをじかに勘定できる。

直線 L の関数式と点 P (x0, y0) を与えられてベクトル HP の長さを勘定せよ、という問いなのでは？

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

点P(x0,y0)と直線l:ax+by+c=0の距離dは、次の式で与えられることをベクトルを用いて
示せ。
d=|ax0+by0+c|/√a^2+b^2
という例題でした。

回答No.4

yyssaa

回答No2の続きです。
HP・n=±|HP|*|n|だから|HP・n|=|HP|*|n|。その先は以下の通り。
Pからlまでの距離は|HP|だから|HP|=|HP・n|/|n|・・・(1)
|HP・n|=|↑(x0-x1,y0-y1)・↑n(a,b)|=|a(x0-x1)+b(y0-y1)|・・・(2)
|n|=√(a^2+b^2)・・・(3)
(2)(3)を(1)に代入して|HP|=|a(x0-x1)+b(y0-y1)|/√(a^2+b^2)
これが求める距離であり、点Pと直線lとの距離の公式そのものである。
　何故なら、直線lの法線ベクトルがn(a,b)だから直線lの傾斜は-a/b。
点(x1,y1)を通り傾斜が-a/bの直線の方程式は(y-y1)/(x-x1)=-a/bより
ax+by-(ax1+by1)=0。この直線と点P(x0,y0)との距離は、点と直線の
距離の公式(参考参照)により
|ax0+by0-(ax1+by1)|/√(a^2+b^2)=|a(x0-x1)+b(y0-y1)|/√(a^2+b^2)
となり、上記の|HP|になる。
（参考）
点(x0,y0)から直線ax+by+c=0に下ろした垂線の長さdは、
d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)
(以上、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance.htm
より抜粋)

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.3

Nouble

No.１様のままなのですが

HP・n=|HP||n|cos0°=|HP||n|
|HP||n|cos0°は|HP|*|n|*cos0°
cos0°=1
∵HP・n=|HP|*|n|*cos0°=|HP|*|n|*1=|HP|*|n|=|HP||n|
∴HP・n=|HP||n|
ですよね？

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

bran111

質問者が言っていることはベクトルの内積

A↑・B↑＝｜A↑｜｜B↑｜cosθ

においてθ＝0のとき

A↑・B↑＝｜A↑｜｜B↑｜

と言っているだけです。|HP・n|は内積HP・nというスカラーに絶対値をつけているだけで単に数字の絶対値を言っているだけです。

何を聞きたいのか、もう一度整理して質問し直してください。

お礼

お返事ありがとうございました。