ベクトルの問題です

質問

半径１の球Ｓが原点０でｘｙ平面に接しているとき、原点０の直径対点をＮとする。球面Ｓと平面ｙ－ｚ＝０との切り口の上に点Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）を取り、直線ＮＰがｘｙ平面と交わる点をＱとする。点Ｐが切り口上を動く時、点Ｑはｘｙ平面上でどのような図形を描くか？

解答
Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）Ｑ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とおくと、Ｐは直線上の点であるからｘ＝ｙ＋１＝ｚ－１．。。。。（Ａ）

ＰＱ→は平面の法線ベクトルであるから
（Ｘ－ｘ、Ｙ－ｙ、Ｚ－ｚ）＝ｋ（１．１．－１）。。。（Ｂ）
ＰＱの中点（ (Ｘ＋ｘ)/2 (Y+y)/2 (Z+z)/2 ) が平面上にあるから
(Ｘ＋ｘ)/2 ＋ (Ｙ+y) /2 ー　(Ｚ＋ｚ) /2 = ０

∴Ｘ＋Ｙ－Ｚ＋ｘ＋ｙ－ｚ＝０　。。。。（Ｃ）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）からｘｙｚｋを消去すればよい。

ＸＹＺをｘｙｚに書き換えて、　ｘ＝ｙ＋１＝(z+7)/5

質問です！
まず（Ａ）の部分で、Ｐは直線状の点。これは、切り口上の上を歩くのでわかるのですが、どうしてその式がｘ＝ｙ＋１＝ｚ－１となるのですか？

二つ目は、ＰＱ→は平面の法線ベクトルなので
Ｘ－ｘとかＹ－ｙとするのはわかるのですが、なぜＫ（１，１．－１）
となるのですか？Ｋは公式についてたとおもいますが、
そのなかの１，１、－１という部分が不明です。
もしかしたら、なにか、直径１の円という話で、ｘ軸１、ｙ軸１、ｚ軸１というのに関係するのですか？？？

質問３は、どうして、ＰＱの中点が出てきたのですか？
これで問題が解けるという発想がわかりませんでした。理由はなんですか？？

あと、　Ｘ＋ｘ／2 +Ｙ＋ｙ/2 ーＺ＋ｚ/2 =0　という右辺の０というのと、なぜｚの部分だけ、マイナスと符号が変わっているのですか？？

どなたか教えてください。
あと数学は関係式を作れば問題は解答まで導けると学びました、
関係を式で表した時点で、問題がとけるとまなびました。
こんかい、中点の関係を引き出した理由がよくわかりませんでした。
そして文字を消去という流れになったので、どなたか詳しく教えてください！！お願いします！！！＞＿＜！！！

回答No.1

ht1914 · ベストアンサー

確認です。
いくつか疑問があります。

直交
点Ｎは原点Ｏの直径対点ということですので座標は（０，０，２）ということですね。ＱはＮＰを延長してｘｙ平面と交差する点ですね。だとするとＰＱがなぜ平面ｚ－ｙ＝０に直交するのですか。

解ｘ＝ｙ＋１＝（ｚ＋７）／５　について

ｘｙ平面上の図形ですからｚ＝０のはずです。
切り口は円ですからｘｙ平面にはその射影が出来ているはずです。曲線図形のはずです。どうして一次式なんですか。
解答がおかしいのではないですか。

「円に斜めに光を当てて、斜めのスクリーンに写す。影の形は？」という問題だと思うのですが。

お礼

ごめんなさい、題意を間違えました＞＿＜