ベクトル

質問

空間に、4点A(1,1,1),B(3,4,2)C(2,3,2),D(2,2,4)
があるとき

(1)三角形ABCを含む平面上に任意の点P(x,y,z)をとるとき、x,y,zの間に成り立つ関係式を求める。

（２）
点Dより（２）の平面におろした垂線の長さを求める問題で
(2)は分かったので（３）について教えてください、

(1)は
2x-y＋z=dから点Aを代入して
d=2
関係式は2x-y＋z=2

●点a,b,c)から平面Ax＋By＋Cz＋D=0
への距離の公式は
|Aa＋Bb＋Cc＋D|/√(A＾2)＋(B＾2)＋(c＾2)

点Oから平面ABCへの距離が
上の公式にDを代入するときどうして-2を代入するのですか？

(1)でdを求めたときはd=2でしが。
なぜ代入するときにマイナスがつくのかがわかりません。

回答No.6

freedom560 · ベストアンサー

(1)ですが、別の解法を示しておきます。

原点をＯにとる空間上の３点Ａ、Ｂ、Ｃにおいて、この平面ＡＢＣ上の任意の点Ｐについて

ＯＰ→＝ＯＡ→＋ｓ×ＡＢ→＋ｔ×ＡＣ→

が成り立ちます。（ｓ、ｔは任意の実数、×は外積じゃなくてただの掛け算）

つまり、今回の点P(x,y,z)は

(x,y,z)=(1,1,1)+s(2,3,1)+t(1,2,1)

と書くことができます。
つまり、

x=2s+ t+1　・・(1)
y=3s+2t+1　・・(2)
z= s+ t+1　・・(3)

です。
この３つの式において、sとtを消去するために(1)－(2)＋(3)を計算すると

x-y+z=1

が出てきます。

お礼

こんなとき方もあるんですね。
知りませんでした。
ありがとうございます。

回答No.5

freedom560

外積ですか？

外積は→AB＝(x1,y1,z1)、→AC=(x2,y2,z2)のとき
→AB ×→AC＝(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)だから

→AB=(2,3,1),→AC=(1,2,1)のとき
→AB ×→AC＝（3-2,1-2,4-3）=(1,-1,1)　ですよ？

お礼

ありがとうございます。
計算ミスをしてしまいました。

回答No.4

aco_michy

＞→ABと→ACの垂直なベクトルを求めるため
→AB ×→AC=(２、－１，１)を利用しました。

利用した→AB ×→ACって外積？

不明です。

回答No.3

freedom560

＞(1)でdを求めたときはd=2でしが。
＞なぜ代入するときにマイナスがつくのかがわかりません。
何が言いたいのかわかったようなわからないようなという感じですが、
(1)でdを求めたときには
Ax＋By＋Cz=d・・（Ａ）
として計算しているのに対し、
距離の公式は平面を
Ax＋By＋Cz＋D=0・・（Ｂ）
として計算しているので、（Ａ）と（Ｂ）見比べたらD=-dなので、代入するときには当然マイナスがつくのではないでしょうか？

(1)で間違っているようなので、なぜD=-2を代入しようとしているのが解答ではなさそうなので、なにを根拠にD=-2を代入しなきゃいけないと思ったかよくわかりませんが・・

お礼

ありがとうございます。
そこのことに気づきませんでした。
どうもありがとう。

回答No.2

aco_michy

→e=(3/√6,-1/√6,1/√6)

→AB=(2,3,1),→AC=(1,2,1)

→eと→AB
→eと→AC
の内積を取ってみて下さい。
０にはならないので垂直ではありません。

二つのベクトルに垂直なベクトルは、
(1/√3,-1/√3,1/√3)
だと思うのですが・・・

補足

→ABと→ACの垂直なベクトルを求めるため
→AB ×→AC=(２、－１，１)を利用しました。

回答No.1

aco_michy

(1)の関係式は、

ｘ－ｙ＋ｘ＝１ではないですか？

2x-y＋z=2では、点Ａは、成り立ちますが、点Ｂ，点Ｃ
は、代入しても成り立ちませんが・・・

補足

私の解き方は
ベクトル→ABと→ACの両方に垂直な単位ベクトル→eを求めて
→e=(3/√6,-1/√6,1/√6)
分子だけを見て
2x-y＋z=dとして考えたのですが

間違っていたらすいません。
あまり自信がありません。