点と直線の距離をベクトルで証明

質問

以前同じ問題で質問しましたが、また疑問点がでてきたので、質問します。問題は、
点P(x0,y0)と直線l:ax+by+c=0の距離dは、次の式で与えられることをベクトルを用いて示せ。
d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

Pから直線lへ垂線を下し直線lとの交点をH(x1,y1)とするHP→(HPベクトルをこのように書きます、お願いします。)=(x0-x1,y0-y1),直線lの法線ベクトルn→=(a,b)はどちらも直線lに垂直だから、
HP→//n→である。したがって、
HP→・n→=|HP→||n→|cos0°= |HP→||n→|。または
HP→・n→=|HP→||n→|cos180°= -|HP→||n→|・・・(1)
より|HP→・n→|=|HP→||n→|よってd=|HP→|=|HP→・n→|/|n→|=
|a(x0-x1)+b(y0-y1)|/√(a^2+b^2)
=|ax0+by0-(ax1+by1)|/√(a^2+b^2) 点Hは直線l上の点であるから、
ax1+by1+c=0 よってc=-(ax1+by1) ゆえにd=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

疑問があるのは(1)のところで、1つは法線ベクトルは2つあるか？
２つめは、法線ベクトルに対して直線の反対に点Pがあるときに
HP→・n→=|HP→||n→|cos180°が成立するか？
添付した図で教科書にはP? やn→?は描かれていませんでした。
自分の考えがまちがっていたら訂正お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 1つは法線ベクトルは2つあるか？

法線ベクトルは無数にあります。まず長さは決められていませんから，これだけでも無数にあるし，方向も180度違いで2つあります。でもここでは「直線lの法線ベクトルn→=(a,b)」と言って無数にある法線ベクトルのうちの1つを使っています。

> 法線ベクトルに対して直線の反対に点Pがあるときに
> HP→・n→=|HP→||n→|cos180°が成立するか？

法線ベクトルの始点は決められていませんから「法線ベクトルに対して直線の反対に」なんて言い方はおかしいが，まあ，言いたいことはわかる。
法線ベクトルの方向とHPが同じ方向であれば0度であるし，法線ベクトルの方向とHPが逆方向であれば180度になります。

お礼

ax+by+c=0の法線ベクトルの1つが(a,b)なんですね。無数にあるというのが正しいんですね。また、わかりづらい表現にもお返事くださりありがとうございます。

回答No.4

deshabari-haijo

ANo.3の補足です。

PH→=(x1-x0,y1-y0)とn→=(a,b)が同じ向きであればk＞0、逆の向きであればk＜0になります。
そして、距離dに負の値はないので、|k|で考えます。

回答No.3

deshabari-haijo

既に正解が寄せられているようですので、参考までに自分なりの考え方を示します。

OH→=OP→+PH→= OP→+k×n→（kは定数）
と表せるので、
(x1,y1)=(x0,y0)+k(a,b)
⇒x1=x0+ka、y1=y0+kb
点H(x1,y1)は直線l上にあるので、ax1+by1+c=0
よって、
a(x0+ka)+b(y0+kb)+c=0
これから、
k=-(ax0+by0+c)/(a^2+b^2)
以上から距離は、
d
=|n→|×|k|
=√(a^2+b^2)×|ax0+bx0+c|/(a^2+b^2)
=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

なお、本文3行目の式：(x1,y1)=(x0,y0)+k(a,b)を、
(x1,y1)=(x0,y0)+k(2a,2b)=(x0,y0)+2k(a,b)と表しても、
(x1,y1)=(x0,y0)+k(-a,-b)=(x0,y0)-k(a,b)と表しても、
考え方は全く同じなので、最も簡単な形にしました。
これは、法線ベクトルが無数にあることを意味します。

お礼

法線ベクトルが無数にあることも証明できるのですね、勉強して理解できるようにしたいです。

回答No.2

178-tall

(ベクトル記法 → を省略)
>疑問があるのは(1)のところで、1つは法線ベクトルは2つあるか？

解説にいう法線ベクトルは、n = (a, b) ひとつだけ。
n に平行なベクトル HP = (x0-x1, y0-y1) が法線ベクトル n と同方向のケースと、逆方向のケースがある、ということしょう。

>２つめは、法線ベクトルに対して直線の反対に点Pがあるときに　HP→・n→=|HP→||n→|cos180°が成立するか？

HP と n とが「逆向き」なら、HP と n との内積は「同じ向き」の正値に負号をつけたものになる。

お礼

お返事ありがとうございます。