単調増加関数と単調減少関数の交点

質問

『単調減少する関数 y=f(x) (ただしf(0)=1) と y=x という二つの関数があるときに、
f(x)=x がただひとつの解を持つことを証明せよ』
という問題なのですが...。自分には、一つの解を持つことが当たり前に見えます。
だからといって、

【証明】
自明。何を証明しろというのだ！
（証明終）

という答えでは流石にマズイですよね。
そこで何か書こうということで下の証明を書いてみたのですが...

【証明】
g(x)=f(x)-x とすると、
g'(x)=f'(x)-1
題意より、y=f(x) は単調減少をする関数なので f'(x)<0
よって、g'(x)<0　となり、g(x) は単調減少をする関数。
また、g(0)=f(0)-0
=1
∴ g(x)=0 となる x がただ一つ存在する。
⇔ f(x)=x となる x がただ一つ存在する。
（証明終）

...これは正しい証明になっているのでしょうか??
いまいち自信がありません。よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

問題が不適切です．
交わらないケースが存在します

x=<0 のとき f(x)=-x+1
x> 0 のとき f(x)=-x

というように関数fを定めれば
fは単調減少です．
けど，y=xとy=f(x)は交点を持ちません．

したがって，問題が不適切で
少なくとも「fは連続な単調減少な関数」
である必要はあるでしょう．

ちなみに，質問者さんの解答には問題があります．
なぜなら
fが微分可能であるとはどこにも書いてませんので．
もしfが微分可能であるという条件があれば正解です

ちなみに，
fが連続で単調減少であれば
g(x)=f(x)-x とおくと
a<bのときに
g(b)-g(a)=f(b)-f(a) + (a-b)
で f(b)-f(a)<=0 a-b<0 なので
g(b)<g(a)でgは単調減少
g(0)=1でgは連続なので
中間値の定理よりg(x)=0の解が存在し
さらに単調性よりそれは唯一つであるといえます

お礼

なるほど！連続で微分可能でないとダメですね。
ご指摘＋αをありがとうございます！