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3次関数で単調増加な場合
3次関数で狭義の意味で単調増加な場合、 例えばｙ=x^3-8 で、ｙ＝０とすると、（ｘ－2）（ｘ＾2＋2ｘ＋4）＝０だから、虚数解が現れますが、ｘ＝－1±i√３ はグラフ上ではどこに表現されているのでしょうか。
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落ち着いて、正気で考えてください。 虚数解が、実二次平面上のグラフに現れるはずがないです。 x = -1±i√3 の -1 と √3 を分離して、それぞれを y = x^3-8 の実グラフの中から見つける方法なら いくつかあるでしょうが、 そんな、エジプトのピラミッドから円周率を探し出すような こじつけをしても、あまり意味がないです。 複素数 x から複素数 y への関数として、複素二次空間上で グラフを書くか、(どうやって書くんだ？) 現実的なセンとしては、x の複素平面と |y| の数直線を軸 として立体グラフを作れば、 虚数解 x = -1±i√3 はグラフ上に現れます。
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- alice_44
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あれ？ URLが文字化けした。 http://www.wolframalpha.com ↑のサイトを訪問して、入力ボックスに plot abs((x+y*i)^3-8), x=-1.5 to 2.5, y=-2 to 2 ↑をコピー＆ペーストしてみてください。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.1 に ＞ x の複素平面と |y| の数直線を軸として立体グラフを作れば、 ＞ 虚数解 x = -1±i√3 はグラフ上に現れます。 と書いた、そのグラフを描いてみます。 手描きで立体グラフを描くのは難しいので、パソコンにやってもらいました。↓ http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+abs%28%28x%2By*i%29^3-8%29%2C+x%3D-1.5+to+2.5%2C+y%3D-2+to+2 ソフトウェアの都合上、変数の役割を変えて、 z = | (x+yi)^3-8 | のグラフを描かせてあります。 等高線で表示されたほうの図の、赤い丸それぞれの中に、 3個の解 -1±i√3, 2 が、極小値かつ零点として含まれます。
- info22_
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複素解は複素平面にしか表示できません、 つまり ttp://ja.wikipedia.org/wiki/複素平面 にあるように 複素数x+iyを直交座標(x,y)に対応させた平面が複素平面です。 直交座標平面での y=(x-2)(x^2+2x+4)...(1) のグラフがx軸と交わる（y＝0とおいた）x座標は x1=2,x2=-1+i√3,x3=-1-i√3 の3個です。 3個の座標点 (x1,0),(x2,0),(x3,0) は縦軸に実数y,横軸に実数xをとるxy座標平面では、実数の座標点(x1,0)はプロットできても、x2,x3は虚数部を含む複素数なので両軸とも実数のxy座標平面に座標点(x2,0),(x3,0)をプロットはできません。 複素平面では 座標点(x1,0)=x1+i0は実軸（横軸）上にプロットできます。 座標点(x2,0)=-1+i√3は第２象限にプロットでき、 座標点(x2,0)=-1-i√3は第３象限にプロットできます。 x2とx3は共役複素数なので実軸に対称な点となります。 x2,x3は虚数を含む複素数なのでxy座標平面（両軸とも実数）には表示できません。 なので(1)で表されるxy座標平面のグラフでは y=0とおいた 3次方程式(x-2)(x^2+2x+4)=0 の解x1,x2,x3の内、実数解のx=x1=2はx切片として 表わされますが、残りの2つの解の共役複素解は2次元実数空間であるxy座標平面であらわれません。すなわち、共役複素数解x2,x3の存在は、 (1)のグラブは、『xy座標平面ではx軸とx=x1(=2)の《一点だけでしか交わらない》』というネガチブな形で表されることになります。 このように３次関数では、（二次元実数空間である）xy座標平面の場合 、x軸との交点（x切片）とy=0とおいた時の３次方程式の実数解が対応し、虚数解（共役複素数解）はx切片としては表されません。 ３次方程式の解の１つは必ず実数解として存在し、他の２つは実数解（重解を含む）か共役複素数のどちらかとなり、このことが「対応する３次関数のx切片の個数＝３次方程式の実数解の個数」であるように3次関数のグラフはx軸と交わるような曲線の形をとることになります。共役複素解が存在すれば、その個数だけグラフのx切片の個数が減少させるという影響が出るということです。
あ・・・ ＞z^3-1=0 は間違いで当然 z^3-8=0 が正しいです。失礼。
虚数解を実数から実数への対応のグラフでみることはできません。 グラフ化したいなら、複素変数にして z^3-1=0 z=x+iy としてみましょうか。 途中計算省略しますが、 実部をまとめると x^3-3xy-8=0 ・・・・・・・・・・・☆ 虚部をまとめると y((√3)x+y)((√3)x-y)=0 ・・・★ となるので、元の方程式の解は☆が表す曲線と★が表す3本の直線 との交点とみることができます。 グラフを作成するサイトで描いてみると、 ☆のグラフは http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x^3-3xy-8%3D0 ★のグラフは http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%28%28sqrt3%29x-y%29%28%28sqrt3%29x%2By%29%3D0 という感じ。 交点が(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)の3つになっているというわけです。 （別の解釈） 一方、元の方程式を(x-2)(x^2+2x+4)=0と因数分解した式で実数解2 を切り離してx^2+2x+4=0の部分だけ考えることにすると、上記より 楽になります。 上記と同じように複素変数にして z^2+2x+4=0 z=x+iy としてみると、 実部((y/√3)^2-((x+1)/√3)^2=1 （双曲線） 虚部(x+1)y=0 （2直線） となります。 手書きでグラフを描いてみてください。 幾何学的にはz^2+2x+4=0の解は双曲線と2直線の交点 (-1,√3),(-1,-√3)とみることができます。 こっち（z^2+2x+4=0）のほうが最初の方法（z^3-8=0）より見やすいし 共役の解がでてくる様子がわかってよいと思います。 蛇足ですが、 ＞3次関数で狭義の意味で単調増加な場合 に虚数解が現れるとは限りませんし、単調増加でなくても虚数解が 現れることがありますのでご注意を。
