導関数と区間の端についてなのですが…
aは0<a<1を満たす定数、f(x)=(cos2x-2)/(acosx+1)とする。f(x)が0≦x≦πで減少関数となるaの範囲を求めよ、という問題で、まず自分はf'(x)=-sinx(2acos^2x+4cosx+3a)/(acosx+1)^2を計算して、0≦x≦πで, f'(x)≦0…(1)を示せばよいと考えました
ここで-sinx/(acosx+1)^2はx=0, πで0, 0<x<πで負なので、g(x)=2acos^2x+4cosx+3aとして
(1)⇔0<x<πで, g(x)≧0としました。そこでg(x)の最小値≧０を示せばよいと思い
g(x)=2a(cosx+1/a)+3a-2/a, 軸はx=-1/a<-1, g(x)は下に凸な関数で、x:0→πのときcosx:1→-1なので、0<x<πでg(x)は単調減少でg(π)=5a-4<g(x)となったところで
ここで不等号にイコールは付いてないのですが、5a-4≧0としてもよいものでしょうか？、0<x<πでg(x)>5a-4, lim[x→π-0]g(x)=5a-4、であるからg(x)≧0⇔5a-4≧0と濁してみたのですが、x=πの時は、aによらずf'(x)=0なわけで、厳密には5a-4がg(x)の最小値とは言えないのでこのような書き方をしてよいのか困っています
またこれはまた別の話で、いつも機械的に0≦x≦πでf(x)が減少関数⇔(1)としているのですが、本当は区間の端ではf'(x)は定義されませんよね、厳密には0≦x≦πでf(x)が減少関数⇔0<x<πでf'(x)≦0かつlim[h→+0]f(0+h)-f(0)/h≦0かつlim[h→-0]f(π+h)-f(π)/h≦0だけど、f(x)がx=0, πで連続で微分可能だから(1)として良い、ということでしょうか？区間の端について考えてたらふと思いました
よろしくお願いします
