数学出来る方

質問

自然数ｎに対し閉区間[0,1]上の関数ｆ(x)=cos(ncos(nπx)を考える
f(x) = g(x) + h(x), (x ∈ [0, 1])となる単調増大関数ｇと単調減少関数ｈを求めよ
これの解き方を教えてください

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

f'(x) = -sin(ncos(nπx)) * (-n sin(nπx)) * (nπ)であるゆえ、x∈[0,1]において |f'(x)|≦ (n^2)π。 L = (n^2)πとおく。

すると g(x) = (1/2)(f(x) + (L+1)x), h(x) = (1/2) (f(x) - (L+1) x)とおけば、g(x)は狭義単調増加、h(x)は狭義単調減少であって、f(x) = g(x) + h(x)である。