単調増加の証明

質問

問題　a>1で,xについての方程式2xe^(ax)=e^(ax)-e^(-ax)　・・・(＊)を考える。
(1)　この方程式は正の解をただ1つ持つことを示せ。
　これは、y=(2x-1)e^(2ax)+1とおいて、x軸との交点が、解より解決。
(2)その解をm(a)と書くとき、1<a1<a2 ならばm(a1)<m(a2)であることを示せ。
(＊)を、x=f(a)の形に変形できれば、あとはxをaについて微分して、a>1 で
　単調増加を示せばいいのかと思いました。
　問題点は、x=f(a)の形に表すことができないこと。しかし、必要なのは、
　dx/daのなで、(＊)からdx/daを求められないのか。あとはどうもこの方法は
　ややこしいので、別解はないのか。この２点を教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

(1) でどう処理したかにもよりそうだけど, その y が「x>0 で極小値を 1つだけ持ち, それより大きな x に対し単調増加である」ことを示していれば (2) はとても簡単.
x=m(a1) に対して (2x-1)e^(2a2x)+1 < 0 というだけ.

お礼

回答ありがとうございます
(1)でy が「x>0 で極小値を 1つだけ持ち, それより大きな x に対し単調増加である」ことを
示しています。
x=m(a1) に対して (2x-1)e^(2a2x)+1 < 0を示すとは、
a1<a2のとき、(2x-1)e^(2a1x)+1=0を満たすxに対して、(2x-1)e^(2a2x)+1 < 0　が成り立つ。ということでしょうか。考えたいと思います。

回答No.2

Tacosan

そ～いうことです. x = m(a1) のとき (2x-1)e^(2a2x)+1 < 0 なら, 増減の関係から m(a2) > m(a1) じゃないとおかしいですよね.

実は「あること」に気付かないと悩むんだけど, 逆に気付けばほぼ一瞬で終わります.