導関数の応用について

質問

関数f(x)=x^3-9x^2+23x-15に対して以下の設問に答えなさい。
(1)　関数が単調増加するxの範囲を求めなさい。x<[ ] 、[ ]<x
(2)　関数が単調減少するxの範囲を求めなさい。[ ]<x<[ ]
という問題です。
関数の導関数を求めると
f'(x)=3x^2-18x+23となり、f'(x)=0の解は、x=3±2√3/3となったのですが、その先が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。今晩は、よくお会いしますね。　＾＾

極値が２つあるということは、グラフが２回曲がるということです。
（ちなみに、極値がない場合は、全域で単調増加か単調減少になります。）
そして、ｘ^3　の係数が正なので（１なので）、グラフにすると、

１．はるか左下方面から右上方向に上ってきて、
２．ｘ＝３－２√３／３のところで極大となって
３．そこから今度は右下に下がっていって、
４．ｘ＝３＋２√３／３のところで極小になって、
５．再び右上方向へ上っていき、はるかかなたへ去っていく

というふうになります。
実際にお手元でグラフを描いてみてください。
Ｘ軸もＹ軸もいりません。上記の様子だけ描けばよいのです。
２つの頂点（＝極値を取る場所）に、Ｘ座標の値をメモします。
すると、答えを出すのは、もう、超簡単ですから。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

何度も丁寧に答えていただきありがとうございました。とても分かりやすかったです。

回答No.3

mister_moonlight

＞その先が分かりません。

そこまで分かってるなら、グラフを書いてみれば良いだろう。
後は、君が“単調増加と単調減少”という意味を理解してれば、すぐ分かるだろう。

回答No.1

owata-www

(1)f(x)が単調増加→f'(x)は常に0<f'(x)を満たす
f'(x)=3x^2-18x+23より、x<3-2√3/3or3+2√3/3<xの時は0<f'(x)となるので、f(x)は単調増加になります。

(2)f(x)が単調減少→f'(x)は常にf'(x)<0を満たす
f'(x)=3x^2-18x+23より、3-2√3/3<x<3+2√3/3<xの時はf'(x)<0となるので、f(x)は単調減少になります

参考に
http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/monotone.htm