単調に増加する数列の極限について

質問

「単調に増加する数列：{an} が上に有界ならば，極限 an＝α　が存在する」

というのは、証明できるのでしょうか？
それとも、自明のものとして用いてよいのでしょうか？
おかしな質問かもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.3

HANANOKEIJ

岩波書店「解析概論」の10ページから11ページにかけて、「デデキントの定理、ワイエルシュトラースの定理、有界な単調数列の収束、区間縮小法は、実数の連続性について、同等である」と書いてあります。
「解析概論」では、デデキントの定理を、出発点(公理)として、証明なしで与えられたものとしてスタートします。すると、「単調に増加する数列：{an} が上に有界ならば，極限 an＝α　が存在する」というワイエルシュトラースの定理は、証明することができます。
しかし、ワイエルシュトラースの定理を出発点(公理)として、残りの三つの定理を証明することもできるのです。
詳しくは、現代数学社「ε-δに泣く」石谷茂著、を読んでみてください。
70ページ前後にでてきます。
http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3

参考URL：

http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3

お礼

ご回答ありがとうございます！

回答No.2

zk43

デデキントの公理という実数の連続性から導かれる定理です。
デデキントの公理とは、実数全体をA、Bの２グループにに分け、
任意のAの元aと任意のBの元bに対して、a<bであるとき、Aに最大値が
存在するか、Bに最小値が存在するかのどちらかであるというもの。
これより、実数の集合が上に有界ならば、上限が存在するということが
いえ、さらにこれから、単調増加数列で上に有界ならば収束するという
ことがいえる。
具体的には、anが上に有界ならば、上限αが存在する、すなわち、
an<α。
任意のε>0に対して、α-ε<am<αとなるamが存在する。（上限の定義
より）
すると、anが単調増加なことから、
α-ε<am<a(m+1)<a(m+2)<…<α
つまり、anはm以上の番号では、α-εとαの間に収まる。
これは、anはαに収束することを意味する。

お礼

ご回答ありがとうございます！

回答No.1

koko_u_

>というのは、証明できるのでしょうか？
実数列ならね。

>自明のものとして用いてよいのでしょうか？
高校生までなら。
まあ、高校数学でこんな問題は出ないと思いますけど。

お礼

ご回答ありがとうございます！