単調増加、単調減少の ｘ の範囲

質問

X >0でｆ '(x)＞０のとき
x >=(大なりイコール）0でf (x)は単調増加と問題集の答えではなっているのですが、なぜイコールが入るのかわかりません。
でも、0 < x <= πでf '(x)＜０のとき
0 < x <= πでf (x)は単調減少となっていて
0 <= x <= πではありません。
なぜですか？

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

＃２さんのいう通りですね。直観的に理解できましたか？
細かくいうと、

●前半
「ｆがｘ＝０でも定義されていて、ｘ＝０でも右連続ならば」、そうなります。
つまり、もしあるａ＞０があって、f(0)≧f(a)となるとすると、平均値の定理から、０＜ｂ＜ａをみたすあるｂに対し、f’(b)＝{f(a)-f(0)}/a≦０となり矛盾します。
ゆえに、任意のａ＞０に対し、f(0)＜f(a)となります。

平均値の定理を持ち出さなくても、もしあるａ＞０があってf(0)≧f(a)となるならば、０＜ｂ＜ａなる任意のｂに対し、f(0)≧f(a)＞f(b)となります。
このようなｂを一つとると、f(0)-f(b)＝ｃ（＞０）として、
任意の０＜ｘ＜ｂに対し、f(0)-f(x)＞f(0)-f(b)＝ｃ
となり、ｆはｘ＝０で右連続でなくなり矛盾します。

このような理由により、０を入れても単調増加になります。
（直観的には、ほぼ明らかでしょう？違いますか？）

●後半
これは、別に０を入れる必要がなかったか、或いは、ｆがｘ＝０で定義されていないかのどちらかでしょう。
(1) ｆ がｘ＝０で定義されていないか、或いは定義されていてもｘ＝０で右不連続（で、ｘ→０としたときの ｆ の極限値よりも、f(0)が大きい）ならば、０を含めることは出来ません。
(2) ｆ がｘ＝０で定義されていて、ｘ＝０で右連続ならば、０を含めても単調減少となるのは、上と同じです。
しかしこの場合も、勿論０を含めなくても単調減少ですから、「０＜ｘ≦πで単調減少」という記述自体は全く正しい訳です。単に議論上、ｘ＝０を含める必要がなかっただけでしょう。

(1)(2)のどちらかの理由でしょう。

回答No.5

tecchan22

＃４です。

＞＃１の補足

ああ、そんな具体的な関数なら、微分して、「増減表を書けば」すぐ分かりますよ。

後半は、０＜ｘ＜πでｆ’＜０であり、０≦ｘ≦πで単調減少ですね。

増減表を書いて下さい。

回答No.3

sacreds

とりあえず前半のみ。
微分可能関数の場合、x>0でf'(x)>0となるとx=0でf'(x)=0となることはあっても負になることはありません。よって単調増加と言えるのではないでしょうか？
f(x)=x^3の場合も微分すると3x^2となり、x=0だとf'(x)=0ですが、単調増加です。
たぶんそういう意図だと思います。

回答No.2

noname#44733

形式にとらわれすぎです(笑)
単調増加とか単調減少の区間指定にイコールがつくのとつかないのと意味は同じです。ある区間ｐ＜ｘ＜ｑの異なる２点ｘ＝ａ，ｂ（ａ＜ｂ）についてｆ（ａ）＜ｆ（ｂ）というのと、ｐ≦ｘ≦ｑのときと状況は同じです。ちょっと考えてみれば分かるはずです。

回答No.1

exodus55

f(x)の式を書いていただけないでしょうか？これだけでは何ともいえない部分があると思います。

補足

X >0でｆ '(x)＞０のとき
x >=(大なりイコール）0でf (x)は単調増加と問題集の答えではなっているのですが、なぜイコールが入るのかわかりません。↓

このときのf (x)は
f (x)=ex - X -1
exは e のｘ乗のことです。　　

でも、0 < x <= πでf '(x)＜０のとき
0 < x <= πでf (x)は単調減少となっていて
0 <= x <= πではありません。↓

このときのf (x)は
f (x) =X cosX - sinX
です。