式の変形に関する質問

質問

ある論文を読んでいたところ、
以下のprofit function から、
π1 = (p1-c1) * D1(p1,p2)

(1) ∂π1/∂p1 = D1(p1,p2) + (p1 - c1) * ∂D1/∂p1 = 0
(2) (∂^2π1/∂p1^2) * dp1 + (∂^2π1/∂p1∂c1) * dc1 = 0

(2)まで、導出していたのですが、
(2)の導出方法がよくわかりません。
左辺の２つめの部分、(∂^2π1/∂p1∂c1) * dc1、は
(∂^2π1/∂p1∂c1) = -∂D1/∂p1　と
-(c1 - p1) = dc1 と置いて
(p1 - c1) * ∂D1/∂p1 = (∂^2π1/∂p1∂c1) * dc1
としたのかなと、勝手に考えてみたのですが、
どうして、(2)の左辺の１つめの部分、(∂^2π1/∂p1^2) * dp1
が出てきたのか、わかりません。

根本的なところから、考え方が違うのかもしれませんが、
困ってます。基本的なことなのかもしれませんが、よろしく
お願いします。

回答No.2

noname#44811 · ベストアンサー

説明がわるくてもうしわけありません。

（１）式は利潤最大化条件です。これは、企業が利潤最大化をしている限り常に満たされています。

この性質を用いて、もしｃ１が少し動いたら、p1がどの程度動かねばならないかを導いているのが(2)式です。

まず、ｃ1が動いたとしたら（１）式がどの程度動くのか考えます。
（１）式をｃ1で微分してそれに変化量（dc1）をかけることによってあらわします。これが(2)式の左辺第二項にあたります。

つぎに、p1が動いたら（１）式がどの程度動くのか考えます。
（１）式をｐ1で微分してそれに変化量（ｄｐ1）をかけることによってあらわします。これが（２）式の左辺第一項にあたります。

企業１が利潤最大化をしている限り、（１）式は常に０であり、変化しないので、（２）式の左辺の合計は０になります。そして、そうなるようにdc1,dp1の値が決まります。

（２）式を変形することによって
dp1/dc1=-(∂^2π1/∂p1∂c1)/ (∂^2π1/∂p1^2)
を導くことができます。

以上の手法は陰関数定理を用いています。
チャン"現代経済学の数学基礎”のpp240-252あたりに載ってます

ちなみにtstwstlngさんのおっしゃるようにp1をｃ１の関数としてp1(c1)として考えて
（１）式をｃ1で微分しても

∂^2π1/∂p1∂c1+(∂^2π1/∂p1^2)dp1/dc1=0
という結果が得られ、答えは変わりませんし、問題ありませんよ。

お礼

詳細な回答ありがとうございます！！！
ようやくわかりました！
とても助かりました！！！

回答No.1

noname#44811

(1)式をp_2を所与として全微分したのが（2）式です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

すいません。うまくできなかったので、質問させてください。
＞(1)式をp_2を所与として全微分したのが（2）式です。
というのは、何で全微分するということでしょうか？？
p1(c1) として、
d(∂π1/∂p1)/d(c1)
とかですか？？

すいません。数学のバックグラウンドがほとんどないんで、
かなり低レベルな質問かもしれませんが、よろしくお願いします。