行列（高校）

質問

このカテゴリで、もうひとつ解決していない質問がありますが、補足をお待ちしているところなので、ご了承ください。（ベクトルの問題です）
今回教えていただきたいことは、行列です。

P=(a b c d)（←行列です）,P^2-dP=P^(-1),ad-bc=1 のとき、P^3 を求めよ。

(1)P^2-dP=P^(-1) の両辺に P をかけると、P^3-dP^2=E となるので、P^3=dP^2+E となりますよね。

(2)それと、ケーリー・ハミルトンの定理より、P^2-(a+d)P+(ad-bc)E=0 → P^2-(a+d)P+E=0 ⇔ P^2=(a+d)P-E

(1)で得られた式に、(2)で得られた式を入れて、
P^3=d{(a+d)P-E}+E=d(a+d)P+(1-d)E={ad(a+d) bd(a+d) cd(a+d) d^2(a+d)}+(1-d 0 0 1-d) これをまとめれば解になると思ったのですが、解はシンプルに E でした。ad-bc=1 をうまく使うと、私の求めた答えが E になるけど、私のやり方は実用的でないのか、
それ以前に根本的に間違っているところがあるのか（計算も含めて)わからないので、見てもらえますか？
お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

やっている事は間違っていませんし、ケーリー・ハミルトンの定理で次数下げをする、ってのもよくやる方針ですね。
成分計算は、面倒なので、できれば、別の解き方がいい、という感じでしょうか。

ケーリー・ハミルトンの定理でひたすら次数を下げて、αP=βEの形にする。

そして、
α≠0(このときP=kEの形になる)
α=0(このとき、β=0となる)
の一方を背理法で否定する(orこの２つで場合分け)

ってのはよくある解き方だったと思います。

この問題もこの方針でやると、最終的にd=0が出てきます。この後は、簡単にP^3が求まりますね。

お礼

回答ありがとうございます！　アドバイスのおかげで、どう解いていいのか、考え方にとても役立ちました。