熱力学の証明での式変形

質問

オットーサイクルの熱効率の式を証明する問題を解いています。

AからBへの変化は断熱膨張
BからCへの変化は定積
CからDへの変化は断熱圧縮
DからAへの変化は定積

として、状態AとDは体積がV_1、状態BとCはV_2
温度は状態AがT_A、状態BがT_B、状態CがT_C、状態DがT_D

とします。

ここでそしてこのサイクルの際、熱効率：ηが
η=1-(V_1/V_2)^γ-1

となることを示せ。

とありました。

ちなみにnモルでの理想気体を考えています。

仕事率ηは
W/Q_2なので

η=W/Q_2=(T_A-T_D)-(T_B-T_C) ÷ (T_A-T_D)

= 1 - (T_B-T_C)/(T_A-T_D)　　…式１
というところまでは出来たのですがこのあとどう変形して
η=1-(V_1/V_2)^γ-1

にすればよいかで躓きました。
解答ではポアソンの式を用いて、

T_A・V_1^γ-1 = T_B・V_2^γ-1
T_D・V_1^γ-1 = T_C・V_2^γ-1

を用いて　式１に代入すれば、

1-{(V_1/V_2)・(V_2/V_1)}^γ-1　×　(T_B-T_C)/(T_A-T_D)

から計算すれば答えを導けると書いてありましたがはずかしいことに

どうして

1-{(V_1/V_2)・(V_2/V_1)}^γ-1　×　(T_B-T_C)/(T_A-T_D)

となるのかが分かりません。どういう計算からこの式が導けるのかを丁寧に教えてください。
焦っていませんので時間があれば是非ご教授ください。
ご迷惑おかけしますがお願い申し上げます。

この式が導出できれば確かに

(T_B-T_C)/(T_A-T_D)に (V_2/V_1)}^γ-1をかけることによってポアソンの式からこの部分が1となって答えと一致することはわかるのですが。。。。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

{(V_1/V_2)・(V_2/V_1)}^γ-1　って中カッコの中は１ですよね。
元々式１では表記上現れていない係数の「１」を無理やり上記のように
書き変えているように感じます。間違いではありませんがその意義も
よく判りません。普通に下記のようにすればいいのではないでしょうか。

T_A・V_1^γ-1 = T_B・V_2^γ-1
T_D・V_1^γ-1 = T_C・V_2^γ-1
の一式目から二式目を辺々引くと
(T_A-T_D)V_1^(γ-1)=(T_B-T_C)V_2^(γ-1)
T_B-T_C=(T_A-T_D)((V_1/V_2)^(γ-1))
よって
1 - (T_B-T_C)/(T_A-T_D)＝1-(V_1/V_2)^(γ-1)

お礼

早速のご教授誠にありがとうございます。
質問の解答をお教えいただくだけでなく、それが非効率であることをお示しくださり、かつ、もっともクリーンな解法をご指導まで下さり本当にすっきりしました。

こんなふうに別のプロットまでも解説できる方の頭の回転の良さをただただ羨ましく思うだけにならないように一度落ち着いて考えられるようにしたいと存じます。

本当にありがとうございました。
また、手打ちで大変めんどうな作業にもかかわらずこうしてご指導をくださったことも謹んでお礼申し上げます。また機会がございましたら是非ご指導お願い申し上げます。