熱力学(等エントロピー変化)

質問

実在気体(蒸気)の等エントロピー変化において、ごく限られた温度・圧力の範囲内で成り立つ式

p・v^k=const.
(p:圧力 v:体積 k:断熱指数)

があります。
断熱指数は温度と圧力の関数です。
この式をk=の形に変形すると、

k=-v/[p(∂v/∂p)]
( (∂v/∂p)は、エントロピー:s=const.)

になります。
導出過程について、下記の様に自分なりに答えを出したのですが、合っているでしょうか？
申し訳ありませんが、お分かりになる方教えてください。
よろしくお願いします。

p・v^k=const.より
ln(p・v^k)=C (C:定数)
ln(p)+ln(v^k)=C
ln(p)+k・ln(v)=C
(d/dv)ln(p)+k・(d/dv)ln(v)=0
(1/p)(dp/dv)+(k/v)=0
k=(-v/p)(dp/dv)
k=-v/[p(dv/dp)]

ここで(dv/dp)はds=0(s=const.)の偏微分となり、

k=-v/[p(∂v/∂p)]

となる。

回答No.3

noname#108554 · ベストアンサー

私も熱力学で悩みました。

>(dk/dv)=0より
>(1/p)(dp/dv)+(k/v)=0

この微分は何を意味していますか？

全微分だろうと、温度一定でvで偏微分だろうと、
圧力一定でvで偏微分だろうと、
(dk/dv)は0ではないです。

試しにkを圧力一定で体積で微分;
(∂k(T,p)/∂v)(p=一定)=(∂T/∂v)(p=一定)(∂k/∂T)(p=一定)
で、(∂T/∂v)(p=一定)は、状態方程式の両辺を
p=一定でvで微分することにより、
0=(∂P/∂v)(T=一定)+(∂P/∂T)(v=一定)(∂T/∂v)(P=一定)
とすることで、求まって、これは一般には
0ではない(とは仮定されていないけど)ので、
(∂k(T,p)/∂v)(p=一定)は0ではないです。

熱力学は多変数系なので、何を一定にして微分するか、で、
結果が全然違います。歴史的には熱力学と電磁気学のおかげで
多変数解析学が発展したわけですから。

お礼

何度も回答いただき、本当にありがとうございました。
おかげさまで、自分なりの答えを出すことができました。
熱力学は、難しい学問と感じています。
何を一定にして偏微分するかを決めないといけないので、状況によって一定にする値が分かるようになるように、勉強していきたいと思います。

回答No.2

noname#108554

ああ・・・そうですか、でも、やっぱり無理でないか、と思います。

分かりやすいように変数をちゃんと書くと；
pV^k(T,p)=Const.
p=p(V,T) (実在気体の状態方程式)
をkについて解くということですね。

>ln(p)+k・ln(v)=C

この式まではいいですが、
これをvで微分するとすると、
全微分だろうと、温度一定でvで偏微分だろうと、
圧力一定でvで偏微分だろうと、
kは定数ではないということなので、

>(d/dv)ln(p)+k・(d/dv)ln(v)=0

にはなりません。

補足

何度も回答ありがとうございます。
ln(p)+k・ln(v)=C
(d/dv)ln(p)+(d/dv)[k・ln(v)]=0
(1/p)(dp/dv)+ln(v)(dk/dv)+(k/v)=0

(dk/dv)=0より
(1/p)(dp/dv)+(k/v)=0

でよいのでしょうか。
何度も申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#108554

>ln(p)+k・ln(v)=C
>(d/dv)ln(p)+k・(d/dv)ln(v)=0

kは、p、vの関数なんですよね。
この変形は無理じゃないですか?

補足

ご回答ありがとうございます。
kは温度と圧力の関数です。