独占企業の利潤最大化問題

質問

市場の需要関数y=D(p),逆需要関数p=G(y)と表すことにすると、逆需要関数は生産量をyとしたとき、これをすべて売り切ることのできる一番高い価格がG(y)であることを示しています。この独占企業の費用関数をC=C(y)としたとき、この企業の利潤は販売収入pyから生産費用C(y)を引いたものになります。ここでpは生産量yをすべて売り切ることのできる一番高い価格G(y)でなければなりませんから。企業の利潤πはπ=G(y)y-C(y)と表すことができます。独占企業は、この利潤πを最大にするように生産量yを決めることになります。Max(y) π(y)≡G(y)y-C(y) の解のyが独占企業の利潤を最大化する生産量になります。この問題の最適解の１階の条件は、右辺をyで微分して0とおくことです。(dπ/dy)=G(y)+y{dG(y)/dy}-{dC(y)/dy}=0ここからがわからない計算です。
このとき右辺の第２項は、y=D(p)の逆関数がp=G(y)ですから、
{dG(y)/dy}={1/dD(p)/dp}・・・(☆)となります。なぜならy=D(p)とp=G(y)よりそれぞれの微分は、dy={dD(p)/dp}dp,dp={dG(y)/dy}dy・・・(1)となり、これらの式はそれぞれ(dy/dp)={1/(dG(y)/dy)},(dy/dp)=(dD(y)/dp)・・・(2)と変形できゆえに、
dG(y)/dy={1/(dD(p)/dp)}・・・(3)となるからです。本ではこの後、需要の価格弾力性についての解説がつづきます。(1)から(3)に至る計算がわかりません。(1)から(2)の計算は、dy=dD(p)としてこれを代入してみたり、dy/dp={dD(p)/dp}={1/dG(y)/dy}は逆関数の導関数の公式から作れると思いましたが、もう一方の式を導けませんでした。また(2)の後者の式はdD(y)はdD(p)の間違いかと思いました。☆の
{dG(y)/dy}={1/dD(p)/dp}が逆関数の導関数の公式を使った計算かどうか、または(1)から(3)に至る計算を教えてくださいお願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

合成関数の微分（の公式）を習いましたか？一般に、ｙがｘの関数で
y = f(x)
と表され、ｘがｚの関数で、
x = g(z)について
と表されるとする。このとき、ｙのｚについての微分dy/dzを求めたい。つまり、後者を前者に代入すると
y = f[g(z)]=F(z)
となりますが、ｙはｚの関数（合成関数）F(z)となっていることがわかるでしょう。ｄF(z)/dzを求めるにはどうしたらよいか、それを教えてくれるのが「合成関数の微分の公式」なのです。それによれば、
dy/dz = dF(z)/dz = df(x)/dx・dg(z)/dz
となりますが、よろしいですか？
あなたの問題では
y=D(p)
p=G(y)
よって、後者を前者に代入すると
y = D[G(y)]
となるので、合成関数の微分の公式を使って両辺をｙで微分してみましょう。
1 = dD(p)/dp・dG(y)/dy
よって
dG(y)/dy = 1/dD(p)/dp
と求める結果を得る。またこれは逆関数の微分の公式そのものでもある。実際、逆関数の微分の公式というのは合成関数の公式の応用でもあるのです。

お礼

合成関数の微分はわかりやすい説明でした。ありがとうございます。

回答No.4

statecollege

>(dy/dp)={1/(dG(y)/dy)},(dy/dp)=(dD(y)/dp)・・・(2)と変形でき
とありますが、(2)の2番目の式はどこから来た？

y = D(p)
p= G(y)
より下の式を上に代入すると、
y = D[G(y)]
となる。両辺をｐで微分すると、合成関数の微分を用いて
dy/dp = dD(p)/dp・dG(y)/dy・dy/dp
よって
1 = dD(p)/dp・dG(y)/dy
dG(y)/dy = 1/dD(p)/dp
と前の結果が得られるだけです。D(・）はｐの関数であって、ｙの関数ではないので、(2)の2番目の式にあるD(y)という表現はおかしいのです！！！

お礼

教科書の間違いでD(p)が正解、D(y)は間違いと確信が持てました。ありがとうございます。

回答No.3

statecollege

>dy={dD(p)/dp}dp,dp={dG(y)/dy}dy・・・(1)となり、これらの式はそれぞれ
(dy/dp)={1/(dG(y)/dy)},(dy/dp)=(dD(y)/dp)・・・(2)と変形でき。これは(1)の前者が(2)の後者、(1)の後者が(2)の前者になるか疑問でした。

「疑問でした」と過去形になっていますが、この問題は解決したんですね！

お礼

文章を書く時、「・・・疑問でした。」の注意を指摘してくださりありがとうございます。

補足

誤解を招く文章ですいません。今でも疑問です。よろしければ回答してくださいお願いします。

回答No.2

statecollege

まだ解決していないのでしょうか？この質問で、未解決として残っているのは何でしょうか？

お礼

すいません。
dy={dD(p)/dp}dp,dp={dG(y)/dy}dy・・・(1)となり、これらの式はそれぞれ
(dy/dp)={1/(dG(y)/dy)},(dy/dp)=(dD(y)/dp)・・・(2)と変形でき。これは(1)の前者が(2)の後者、(1)の後者が(2)の前者になるか疑問でした。