微分方程式の解き方

質問

１．y" - 2y' + y = x sinxの一般解を求めよ。
この問題で、一つの解の予想の仕方が分かりません。
２．(y^2)*((d^2)y/d(x^2)) = (dy / dx)^3
dy/dx = p、((d^2)y/d(x^2)) = (dp / dy)p とおき、
y^2 * p *(dp /dy)= P^3
y^2 * (dp/dy) = P^2
変数分離をして
1/(p^2) dp = 1/(y^2) dy
-(1/p) = -(1/y) + C
1/p = 1/y - C
p = y - 1/C
p=dy/dx = y + A (A = -1/Cとおく)
1/(y + A) dy = dx
log|y + A| = x + B
y + A =±e^(B + x)
y = Ce^x - A
となりましたが
答えはlog|y|=x + C1y + C2です。
間違っているところを指摘していただけるとありがたいです。

回答No.1

uuu-chan · ベストアンサー

１．
y=Ax*sinx+Bx*cosx+C*sinx+D*cosxとおくと、
A=0,B=1/2,C=-1/2,D=1/2
になる。従って、
y=x/2*cosx-1/2*sinx+1/2*cosx

２．
((d^2)y/d(x^2)) = (dp / dy)pが間違っている。
正しくは、
((d^2)y/d(x^2)) = d/dx(dy/dx)=d/dx(p)=dp/dx

お礼

ご指摘いただきありがとうございます。