気泡の成長モデル式の導出について（微分方程式）

質問

今、読んでいる気泡の成長モデルの導出でわからないところがあります。溶質中のガスが気泡内に流入するという状況を想定してあります。
気泡半径をR、気泡の内圧をP、気泡の表面エネルギーをγ、気泡表面でのガス原子濃度をc_s、気泡から十分離れた溶質中のガス原子濃度をc_b、ガス原子の拡散係数をD、ガス原子の原子体積をΩ、温度をT、ボルツマン定数をk、気泡の体積V、気泡中のガス原子数をNとします。論文中に出てくる気泡の成長速度に関する式は次式です。理想状態を考えています。
dR/dt = (3kT/4γΩ)*D(c_b - c_s)

この式の導出を次のように行っているところです。
気泡圧力と表面エネルギーが平衡だとすると、P＝2γ/Rの関係があります。
気体の状態方程式より　PV = NkT　→　(2γ/R)*4pi*R^3/3 = NkT
8piR^2/3 = NkT　となります。両辺をtで微分すると、(16piR/3)*dR/dt = kT*dN/dtとなる。

単位時間に溶質中から気泡に流れ込んでくるガス原子数は4piR^2*D(c_b - c_s)とあらわされるので、上式へ代入して
(16piR/3)*dR/dt = kT*4piR^2*D(c_b - c_s)
dR/dt = (3kT/4γR)*D(c_b - c_s) となりますが、論文では
dR/dt = (3kT/4γΩ)*D(c_b - c_s) となっており、分母のRが原子体積Ωになっています。これがなぜなのかを教えていただけないでしょうか。

回答No.2

phosphole

ちょっと展開が良く分からないところがあるのですが、論文中の式展開は質問者さんが書かれた通りになっていて、ラストで突然Ｒがオメガに変わっているのでしょうか？それだと、論文筆者の間違いでは？という気がしますが。
私は門外漢ですが、質問者さんの方で微分方程式両辺の次元を確認されてみては。１にも書きましたが、Ｒとオメガでは次元が違いますので、どっちかがおかしくなるはずです。

お礼

追加の捕捉です。どうやらｃは無次元のようで、格子原子数にたいするガス原子の比です。よって論文の式は次元はあっていることになります。(c_b-c_s)/Ωは１個の格子原子体積中に何個の割合でガス原子があるかを示しているのだと思います。ただ、ではどうやって導出すればよいのかがわからなくなりました。単位時間に気泡に流れ込んでくる粒子数を4piR^2D(c_b-c_s)/Ωとすると最終的な式で右辺の分子にRが出てきてしまいます。ここに間違いがあるようなのですが、何かアドバイスいただけないでしょうか。

補足

ありがとうございます。論文にはdR/dt = (3kT/4γΩ)*D(c_b - c_s) の式だけしかでてきていません。上記の導出過程は多分こういうことだろうと自分でやっているものです。次元解析は論文のも私のもあわないですね（困りました。）。
私のにしても右辺のRがあまってしまいます。
確かに分母にRがくるのがおかしいようです。
左辺：m/s,
右辺γ:J/m^2, k:J/K, T:K, R:m, D:m^2/s, c:1/m^3, 　よりm/sm

回答No.1

phosphole

右辺ですが、分母にR or omegaが来るのは間違ってません？

また、Rとomegaだと次元が違いますから、おかしいですよね。
そもそもこの式で原子体積が出てくるのは変では。気体の体積は状態方程式で扱っているので、理想気体としているはずです。それなのに、原子は質点ではない扱いが混じってくるのは？ですね。

そんなことないとは思うんですが、omegaの定義がなんか間違ってないですか？

補足

ありがとうございます。私が勘違いしていたかもしれません。論文中ではΩはthe atomic volumeとかかれてあります。このΩが出てくるのは、材料中の空孔濃度をあらわす次の式で初めて出てきます。
気泡の表面近傍の空孔濃度c_vs = c_e*exp((2γ/R)-pg))*(Ω/kT)
c_eは熱空孔濃度です。
Ωはガス原子の体積だと思ってましたが、材料（溶質）の格子原子1個の体積のことかもしれません。ただ、そうだとしてもやはりなぜRがΩになるのかはわかりません。気泡の体積が増加した分だけ空孔を取り込んでいるということと関係があるようなのですが。