群の位数に関しての問題です。

質問

群Gが２元σ、τを生成要素にもち、その関係が

σ^6 = e = τ^2
στ = τσ^5

の時Gの位数を求めるという問題なんですが、一つ目の条件からσはe～σ^5、τはe～τ^1までの値をとるので位数は12かな？と思ったんですが、二つ目の条件をどのように用いたらいいのか分かりません。すみませんがお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

例えば、
a^2=e,b^2=e,(ba)^6=e
とします。このa,bで生成される群の位数を
＞σはe～σ^5、τはe～τ^1までの値をとるので位数は12かな？
という考え方で求めてみると、
「aはe～a^1,bはe～b^1までの値をとるので位数は４」という事になります。
これは正しいのでしょうか？

「正しくない」が答えです。

正しくない、という事は、
実は、上のa,bの条件式はというのは、τ=a,σ=baとして、
＞σ^6 = e = τ^2
＞στ = τσ^5
を書き変えたもの過ぎない、という事などを考えると、
「aとbで生成される群と、σとτで生成される群は同じ物(同型)である」という事から分かると思います。

では、
＞一つ目の条件からσはe～σ^5、τはe～τ^1までの値をとるので位数は12かな？
の考え方の何が悪かったのかと言うと、この考え方は、おそらく
σ^mτ^nにおいて、mは0～5、nは0～1だから、6×2通り
という感じの考え方だと思います。

でも、他にはないのでしょうか？(σ^mτ^nの形に変形できない元はないのでしょうか？)

例えば、τσというのは、ぱっと見、σ^mτ^nの形ではないですが、τσは数える必要はないのでしょうか？
もし、σ^mτ^nの形で変形できるのであれば、数える必要はないですが、
もし、変形できないのであればこの元も数えなければいけません。

数える必要があるのかないかは、
＞σ^6 = e = τ^2
＞στ = τσ^5
の条件で決まるはずですよね。
前者の条件ではτσはどうやっても、τσをσ^mτ^nの形には変形できませんので、後者の条件で決まると言っていいでしょう。

もちろん、τσだけではなく、τσ^2,στστ,τσ^4τσ^3など無数に考える必要があります。

結局は、これらの元を数える必要はない(全てσ^mτ^nの形に変形できる)のですが、その理由はご自分で考えてみてください。

(ちなみに、a,bで生成される群の場合、a^mb^nの形では表せない元があった(ababなど)ため、群の位数は４にはならなかったのです)

回答No.1

yumisamisiidesu

G={τ^m＊σ^n＊τ^l|n,m,l∈N∪{0}}と表せます

(2)より
e=τ^(-1)σ^(-1)^τσ^5
組合せ論的に求めたかったのですが…

簡単に済ませるには(1)より位数12以下になるので(2)が成り立つ場合だけ引けばいいように思います.

補足

すみません。回答を元に考えてみたのですが、
なぜGは条件式からG={τ^m＊σ^n＊τ^l|n,m,l∈N∪{0}}のように積の形に置けるのでしょうか。お願いします。