群の位数について質問させてください><

質問

群の位数について質問させてください><
　　　　_ _　　　　_
Z(18)={0,1,・・・,17}
について 　_ _ _ _ _ _　　　　　_ _
U(Z18)={1,5,7,11,13,17}の元7、13の位数をそれぞれ求めよという問題なのですが、
_
|7|=18/(18,7)=18

と考えたのですが、答えは3でした。
どうして3になるのでしょうか？
教えて頂けると助かります。

回答No.1

kentarou2333 · ベストアンサー

一応、位数の定義ですが、ちょうど Wikipedia にもありますが、

＞群Gの元 g の位数とは、g^n = e を満たす最小の自然数 n。ただし、 n が存在しないときは、∞ （無限大）とする。

ですから、7 を何乗かしたら単位元になるかを考えればいいです。

7 * 7 = 49

なので、

49 ÷ 18 = 2 あまり 13

ですから、7^2 ≡ 13 で、位数は 2 ではありません。

もう一回かけると、

13 * 7 = 91

91 ÷ 18 = 5 あまり 1

なので、7^3 ≡ 1 で、３回かけたら単位元になりましたので、位数は 3 になります。

お礼

なるほど!!

すごく分かりやすかったです☆

ありがとうございました。