元の位数について

質問

Gを群とし，a,b∈Gとする．このとき，
aの位数＝5，aba^-1=b^2，b≠e
とするとき，bの位数を求めよという問題です．
（答え．31）

b^31=eとなることは示せたのですが，位数が31であるということを言うには，31がb^m=eを満たす最小の整数であることを言わないといけませんよね．
ここがうまく示せませんでした．

よろしくお願い致します・

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

要は、b^k=1となるkがあった時、bの
位数はkの約数であることを言えば良いのです。

http://okwave.jp/qa/q6362401.html
も全く同じですが、kがbの位数mで割り切れない、
つまりk=mq+r, 1≦r<mなるq,rが存在するとして
矛盾をしめせばいいです。

補足

> tmpname さん

一般に，o(a)=n（o(a)はaの位数）としたとき，任意の整数kに対し，
a^k=e ⇒ n|k
を示せばいいわけですよね．

a^k=eとする．このとき，剰余の定理より，
k=qn+r
となる整数q,r（0≦r<n）が存在します．ここで，
a^r=a^(k-qn)=a^k・a^(-qn)=a^k=e
であるが，nの最小性より，r=0．したがってk=qn．
ゆえにn|k．

これを用いると，今，b^31=eとなっていることから，
o(b)は31の約数となっていなければならないわけですね．
したがってo(b)=1,31であるが，b≠eであることよりo(b)≠1．
よってo(b)=31ということでしょうか？

回答No.2

tmpname

はい、全く問題ありません。

お礼

ありがとうございました．よくわかりました．