元の位数

質問

Ｇを可換群、a∈Ｇの位数をｎ、b∈Ｇの位数をｍとします。このとき位数がｎ、ｍの最小公倍数である元が存在することを示したいのですがabがその元でしょうか？またそれが正しいときabの位数がｎ、ｍの最小公倍数になることはどのように示したらいいのでしょうか？

回答No.4

yoikagari · ベストアンサー

NO2の投稿の訂正
「両辺をn乗して
b^(mx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる」
は
「両辺をn乗して
a^(nx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる」
の誤りです。

回答No.3

yoikagari

最後に「sとmとnの最小公倍数とします。
以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s
(ただしu|mは、mはuで割り切れるの意味、v|nも同様)」
a^(m/u)*b^(n/v)が位数sの元となります。」

の証明のイメージを書いておきます。

(3)より
「m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数とすると以下のような自然数uとvが存在します。
『uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s』
」
となる自然数uとvの存在が分かります。

さらに(2)
「m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。」
より
a^(m/u)の位数がu、b^(n/v)の位数がvであることがわかります。

そして、(1)
「mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。」
より
a^(m/u)*b^(n/v)の位数がuv=sとなることが分かります。

したがって、位数がmとnの最小公倍数sになる元の存在がいえました。

回答No.2

yoikagari

それでは詳しい説明を

(1)
「mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。」
の証明ここから

(ab)^(mn)=a^(mn)*b^(mn)=1_G
(ただし1_GはGの単位元)
abの位数をxとすると、位数の性質よりmnはxで割り切れる。・・・△

(ab)^x=1_G
両辺をm乗して
b^(mx)=(ab)^(mx)=a^(mx)*b^(mx)=1_G
位数の性質よりmxはnで割り切れる
mとnは互いに素だからxはnで割り切れる
両辺をn乗して
b^(mx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる
mとnは互いに素だからxはmで割り切れる
したがって、xはmかつnで割り切れる。
mとnは互いに素だから、xはmnで割り切れる。・・・▽

△と▽より、x=mnとなります。
よって(1)はいえました。

(1)の証明ここまで

(2)
「m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。」
の証明ここから

a^mの位数をyとします。
a^(mn)=(a^m)^n=1_G
位数の性質よりnはyで割り切れる。・・・□

a^(my)=(a^m)^y=1_G
位数の性質よりmyはmnで割り切れる。
したがって、yはnで割り切れる。・・・■

□と■よりy=nとなります。
よって(2)はいえました。

(2)の証明ここまで

(3)
「m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数とすると以下のような自然数uとvが存在します。
『uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s』
」の証明ここから

mとnを以下のように素因数分解する
m=Π(p^a),n=Π(p^b)
すると
s=Π(p^{max(a,b)})と書けます。
(ただしmax(a,b)とはaとbのうち、大きい方の数を表します)

自然数u,vを以下のように定めます。

u=Πp^c
a≧bのときc=a、a＜bときはc=0
v=Πp^d
a≧bのときd=0、a＜bのときd=b

このu,vが問題の条件「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s」を満たすことは明らかである。

よって(3)はいえました。

(3)の証明ここまで

回答No.1

yoikagari

間違っています。

abの位数ががmとnの最小公倍数になると確実にいえるのは、mとnが互いに素のときだけです。

sとmとnの最小公倍数とします。
以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s
(ただしu|mは、mはuで割り切れるの意味、v|nも同様)」
a^(m/u)*b^(n/v)が位数sの元となります。

ポイントは以下の三つです。

(1)
mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。
(2)
m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。
(3)
m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数すると以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s」