約数のカウントの仕方

質問

こんにちは。

ある数字の約数の総数を求めよという問題があったのですが、やりかたが答えを見てもわかりませんでした。

例えば２４０を約分していくと２４０＝２＾４×３×５となります。
一方、２４０の約数の総数は５×２×２＝２０と答えに書いてありました。確かに書き出してみると２０個あったのですが、なぜ、この式からもとまったのか全然わかりません。

何か公式でもあるのでしょうか？
例を出して説明していただくと助かります。

宜しくお願いします。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

２４０＝２＾４×３×５　ですから、約数は２４０＝２＾Ｉ×３＾Ｊ×５＾Ｋと書けます。ただし、０≦Ｉ≦４、０≦Ｊ≦１、０≦Ｋ≦１。
Ｉの取る値は０，１，２，３，４の５通り。Ｊ、Ｋの取る値は０，１の２通り。
Ｉ、Ｊ、Ｋのどれか一つでも違えば違う約数ですから、５×２×２＝２０通りになります。
もちろん、公式は簡単に書けますが、原理を理解した方が良いでしょう。

お礼

返信遅れてすいませんでした。大変わかりやすく解説していただき、ありがとうございました。

回答No.5

m-a-g-i

240=2^4×3×5
ということは、240の約数は
(2^0、2^1、2^2、2^3、2^4)
(3^0、3^1)
(5^0、5^1)
の3つの数のグループから、任意に1つずつ選んで掛け合わせればよいことです。
つまり、素因数は2,3,5なのだから、それぞれを何回掛けるかが重要なわけです。(0乗、つまり0回掛けるのも含む)

というわけで、2を掛ける回数は5通り
3を掛ける回数は2通り
5を掛ける回数は2通りです。

これら3つはお互いに独立した試行であるといえます。
なので、
5×2×3=20通りの約数が得られます。

回答No.4

Mathematica

新課程チャート式（黄）　数学I+Ａ　P186に公式が記載されています。

回答No.3

tatsumi01

No. 1 の修正です。１行目です。
（誤）約数は２４０＝２＾Ｉ×３＾Ｊ×５＾Ｋと書けます。
（正）約数は　　　　２＾Ｉ×３＾Ｊ×５＾Ｋと書けます。

２＾Ｉ×３＾Ｊ×５＾Ｋは、No. 1 で書いた条件のときに２４０の約数となることはわかりますね。

回答No.2

debut

例えば２４を素因数分解すると、２^3×３となりますが、２４の約数を
すべて書き並べれば１，２，３，４，６，８、１２、２４の８個です。

で、これらの約数は、２^3の約数（１，２，４、８）と３の約数（１，３）
との「積の組合せ」で出てくるものと考えられます。

１は、２^3の約数から１をとり３の約数から１をとってかけたもの　１×１
２は、２^3の約数から２をとり３の約数から１をとってかけたもの　２×１
３は、２^3の約数から１をとり３の約数から３をとってかけたもの　１×３
４は、・・・・以下同様
・・・・
と考えれば、２^3の約数は４個で３の約数は２個だから、それらを組合せ
る全体の個数は４×２で８個となります。
素因数分解したときのそれぞれの部分の約数には、必ず１が含まれるので、
その部分の約数の個数は指数に１を加えたものになり（２^3の部分は３＋
１で４個、３の部分は３^1とみて１＋１で２個）、結局、約数の総数は、
素因数分解された部分の「指数に１を加えた数の積」になります。

２４０＝２^4×３^1×５^1とみて、(４＋１)×(１＋１)×(１＋１)＝２０個、
と総数が求まります。