確率密度関数f(x)の積分を示す関数の名称

質問

関数をどのように呼べばいいのか分からなくて困っています。

確率密度関数f(x)の[－∞≦X≦z]の範囲の積分を表す関数F(z)を次のように呼ぶのは正しいのでしょうか。
(1)累積分布関数
(2)累積確率関数
(3)累積密度関数

素人の質問ですみません。よろしくお願いします。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

aを定数とするのであれば、確率密度関数f(x)の[－∞≦x（小文字にしてください）≦a]の範囲の積分は、“密度関数f(x)を持つ確率変数Xがaより小さくなる確率”、というのがもっとも正確な言い方です。あるいは同じことですが“分布関数のaでの値”です。あるいは“－∞からaまでの累積密度”といってもいいかも知れない。

意味をよく考えて、これは使い方が変じゃないからという理由で、あまり一般的でない呼び方をするのはよいとは思いません。なるべく一般的な呼び方にならって使うのがいいと思います。それにわざわざ名前をつける必要に迫られることもあまり多くないと思います。積分論を経ずに確率論をやる人も多いので、その辺りの文化交流がうまくいっていないのかも知れないですが、“分布”と“分布関数”は表そうとしているものは同じだけれど、まったく別物である、ということだけはよく覚えておいていただきたいと思います。積分論で言うところの、“測度”と“単調増加関数”に対応するものだからです。これらが互いに1対1に対応することはそれほど難しい事実ではないですが。ただ、いろいろな文脈に応じて異なる用語の使い方をしていることは本当に多いので、その辺りは肝要な心をもって、前後文脈から何を意味しているのかを汲み取ってあげるのがよいと思います。その上で、実際にご自身で使われるときは、“分布関数”に統一されては、と僕は思います。

いずれにしても、(2)の分布と呼ぶのだけは、完全に別物を指しているので避けるべきだと思います。

お礼

ご懇切なご回答を頂き、御礼の申し上げようもありません。

(2)は、「分布関数」が示す値なので「分布」と言うことができるのかなと思って作った私の造語です。でも、素人目にも変な感じのする言葉です。また、別の定義のある言葉とのご指摘なので、これは不適当とよく分かりました。お手数をかけて申し訳ありませんでした。
(3)は、前回のご教示から不適当とは思いましたが、御確認を賜った次第です。
(4)、(5)は、文献によってはこのように言っておられる方もお見えのようですので、ご教示をお願いしました。

ご教示いただいた内容は、自分ではよく理解できたと思っております。
私のような素人の門外漢に誠にご懇切かつ明快なご教示をいただき、誠に有り難く、心より厚く御礼申し上げます。有り難うございました。

回答No.2

adinat

やや用語の統一がなされていない感じもあるのですが、単に“分布関数”と呼んで間違いありません。あるいは密度関数を積分（累積）したものという意味から、“累積密度関数”と呼んでも誤解はないでしょう。

また離散分布の場合、(確率)密度関数に対応するものを確率関数といいます。たとえば平均値λのポアソン分布の確率関数はP(x)=e^{-λx}λ^x/x!といった感じです。ただしxは非負の整数です。これを－∞からzまで積分（実際には有限和）したものを同様に“分布関数”といいます。同じ理由から“累積確率関数”と呼んでも誤解はないでしょう。

問題なのは(1)の“累積分布関数”という呼び方で、この累積という用語がやや難しいです。僕はこの呼び方はあまり好まないのですが、確率論では“累積分布関数”の代わりに“分布”(distribution)という確率測度を用いることがよくあります。この意味で、－∞からzまでをその分布測度で測ったものという感覚で、“累積分布”と呼ぶのでしょう。これはzの関数であるから、“累積分布関数”というわけです。しかしながら、最初にも述べたとおり、“分布関数”ですでに、密度関数を累積したという意味を含んで定義されているので、わざわざ累積とつける必要はないとは思います。個人的には(1)で呼ぶぐらいなら、関数をつけずに、“累積分布”と呼んで欲しいですね。いずれにしても(1)～(3)のどれも実際には使われているように思います。そしてすべて同じものをさしています。言葉の乱用です。なおこれも最初に述べたとおり、(2)は離散分布、(3)は連続分布に対して使い分けているものです。

補足

複雑ですね。でも、理論的にそのように呼ぶことが正しくない場合を除いては、いろいろの呼び方が可能ということなんですね。ただ、そのうちでもより分かりやすいというかより良い名称があるということでしょうか。そういうことへの命名者の思いが込められているんですね。たいへんよく分かりました。有り難うございました。

申し訳ありませんが、後1つお教えいただけないでしょうか。
aを定数とするとき、確率密度関数f(x)の[－∞≦X≦a]の範囲の積分を次のように呼ぶのは正しいのでしょうか。
(1)確率
(2)分布
(3)累積分布
(4)累積確率
(5)累積密度
(1)は正しいと思います。(2)は正しいようにも思うのですが、簡単すぎて意味が伝わりにくいような感じもします。(3)はご教示の内容から見て用いない方がよい言い方ではないかと思います。(4)はご教示の内容から見て正しくないと思います。(5)は可能かと思います。

しかし、自信がありません。

よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

Cummulative Distribution Function
の訳語ですから、(1)が正しいです。

お礼

そうなんですね。
長い間分からなくて混乱していました。やっとすっきりしました。
今後ともよろしくお願いいたします。
有り難うございました。