確率密度関数について

質問

次の確率密度関数について以下の問いに答えよ。

f(x) = (1/2) * e^(-|x|)　　　(-∞ < x < ∞)

(1) この分布の分布関数を求めよ。
(2) この分布の平均を求めよ。
(3) この分布の分散を求めよ。

という問題が解けなくて困っています。
e^(-|x|)は、eのマイナス絶対値ｘ乗という意味です。

(1)すら解けません。絶対値が入っていて、もうわけが分かんないです。
どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか？

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

(1)なのですが、(0≦x<∞)の方の分布関数を計算すると、
∫[t:-∞→x]f(t)dt
= ∫[t:-∞→x](1/2)*e^(-t)dt
= (1/2)*[t:-∞→x][-e^(-t)]
= (1/2)*(-e^(-x)+e^∞)

0≦x<∞のときは
∫[t:-∞→x]f(t)dt
=∫[t:-∞→0]f(t)dt+∫[t:0→x]f(t)dt
=∫[t:-∞→0](1/2)*e^tdt+∫[t:0→x](1/2)*e(-t)dt
と計算します。

回答No.1

rnakamra

絶対値が入っているのであれば、x<0と0≦xで場合わけをすればよいのです。
つまり確率密度関数は
f(x)=(1/2)*e^x (-∞<x<0),(1/2)*e^(-x) (0≦x<∞)
となります。

(1)分布関数とは確率変数が(-∞,x)に入る確率を意味します。
つまり
∫[t:-∞→x]f(t)dt
で得られます。

(2)平均E(x)は
E(x)=∫[x:-∞→∞]x*f(x)dx
です。
もちろん場合わけをしてもよいのですが、よく見るとこの関数とある性質がありますので簡単に結果がわかります。

(3)分散V(x)は
V(x)=∫[x:-∞→∞](x-E(x))^2*f(x)dx
から計算できます。
これもよく見るとある特徴があるので場合わけを考えなくても計算できます。
なお、この積分は部分積分を使うことになります。

お礼

回答ありがとうございます。
絶対値はこういうふうに場合分けすればよかったのですね。

(1)なのですが、(0≦x<∞)の方の分布関数を計算すると、
∫[t:-∞→x]f(t)dt
= ∫[t:-∞→x](1/2)*e^(-t)dt
= (1/2)*[t:-∞→x][-e^(-t)]
= (1/2)*(-e^(-x)+e^∞)
というeの∞乗という変な答えが出てきてしまいました。
どこか間違っているのでしょうか？
(-∞<x<0)の方は(1/2)*e^xというちゃんとした答えが出たのですが…。