確率密度関数３

質問

統計の授業で出た課題がわからないので教えてください。

確率密度関数f(x)を－∞からtの範囲で積分したものをF(x)とするとき、F(x)はP(x≦t)のとき右連続になることを証明しろというものなのですが、連続の証明なのでεーδを使わなくてはいけないことはわかるのですが、そこからは何も進みません。
力をかしてください。よろしくおねがいします。

回答No.6

keyguy

僕はむしろ分布関数がまずありきで、:

確率論をどう構築するかは
理論体系をすっきりさせることができるか？
役に立つか？
をみて実行しなければ仙人の娯楽になってしまいます

上記条件を満たせばどう構築しても言いのです

しかし分布関数を右側連続な単調増加関数として定義し
密度関数はその微分で定義されるという
構築方法はすばらしいアイデアですね
私はそのアイデアをもらいこれからその考えでいきます

そうすると分布が右側連続は定義であるから証明する必要が無くしかも超関数も自然に拡張され
δ関数以外の役に立たない超関数を排除できます
非常に有益な意見ですね
１つステップアップできました

そうすると
h(0)=1が保証されh(0)=1/2,0でないことが決まり一意性が保証されもやもやが一気に晴れます
密度から構築するのは不利ですね

これでさいころのような離散分布と連続分布とその混合分布をあいまい性を排除して1つの確率論でがっちり固めることができそうですね

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。
とてもよいアドバイスを頂いたので、レポートは自分なりによいものが書けました☆
先生としては集合論の考え方で解いてもらいたかったらしく、わたしの勘違いでした（笑）
“連続型でないときのことも考えろ”らしくて、またそれは自分で考えてみたいと思います。
その時またわからなくなったら、よろしくお願いします。

回答No.5

adinat

♯2です。keyguyさんに質問なんですが、
僕の立場では、確率密度関数が存在するという前提でやってます。

というのはLabbitさんの質問が確率密度関数を積分したものを
云々という内容だからです。

でまあ、そのあたりは解釈の問題だからよいと思うのですが、

一般に分布関数を超函数微分して密度関数を得るというのは
普通な考え方なのでしょうか。
僕はむしろ分布関数がまずありきで、
それはいつでもa.e.ではなくて任意の点で右連続な
単調関数を指すものと認識しています。
そして絶対連続型分布のときだけ
その分布は密度を持つ、というように。

回答No.4

keyguy

さいころの目の密度は
f(x)=(δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-3)+δ(x-4)+δ(x-5)+δ(x-6))/6
ですが
分布F(x)は右側連続ですね

密度δ(x)の分布h(x)をどう定義すべきか?
h(x)=0(x<0),h(x)=1(0<x)
は確かだが
h(0)は
0だろうか?1/2だろうか?1だろうか?

困るのは超関数ってやつはおおらかで
almost everywhere
で等しい関数を同一視するのですね
だからいずれも正しい
超関数を確率論に組み入れる場合に気をつけなければならない点ですね

回答No.3

keyguy

No.2の説明では
積分はルベーグ積分としていますが
実はそれを拡張した超関数積分です
密度は既に述べたように有界では有りません
f(x)=∞となるxが有るのです
離散分布関数のときがそうです
δ関数をガウシアンの極限だとするとx=0で
右にも左にも不連続です（というよりそう考えたほうが合理的です）

回答No.2

adinat

右連続の証明なので、少しだけ右にずれたって値がそんなに変わらない、
すなわちδを十分小さくとれば、F(x+δ)-F(x)は小さくできる、
ということを言えばよいのです。

すなわちε>0に対して、あるδ>0が取れて
｜F(x+δ)-F(x)｜＜ε
を満たすように出来る。

ということを証明します。ですが定義から
F(x+δ)-F(x)=∫_{x}^{x+δ}f(x)dx
です。δをどんどん小さくとっていけば
積分区間がどんどんなくなっていきますよね。
f(x)は正な関数なんですから、
積分区間を十分小さくとれば、F(x+δ)-F(x)<ε
とできるわけです。

これで証明は終わりなのですが、
ほんとは∫_{x}^{x+δ}f(x)dxがδを縮めると
いくらでも小さくなっていく、
ということはそれほど明らかなことではありません。
ここはそうできるんだ、と思っていただいて構わないです。

もっとも簡明なやり方はルベーグの収束定理を用いる方法です。
f(x)は密度関数なので、
∫_{x}^{x+δ}f(x)dx=∫1_{[x,x+δ]}f(x)dx
と1_{[x,x+δ]}f(x)≦f(x),∫f(x)dx=1から
ルベーグの優収束定理によって
lim_{δ→0}∫1_{[x,x+δ]}f(x)dx=0
となります。よって積分はいくらでも小さくできるのです。

回答No.1

keyguy

この積分は超関数の積分なので一筋縄ではいきません
ただしつまらない形式論です
密度関数f(x)=δ(x)の分布関数は
左側連続でないといえるかどうか図を書けば分かる（気になる）かもしれないがx=0付近の振る舞いは微妙でばかげたことです
超関数の定義次第でどうにもなりそうですね
つまらないことにこだわるのは止めたほうが役に立ちます