確率密度関数に関する問題。

質問

超基礎問題なのですが理解できません…
ご教授よろしくお願いします。

(1)確率変数Xの密度関数が
f(x)=1/2,-1<x<1
0,その他の場合
であるとする。
このときXの平均、分散を求めよ。

(2)Xは標準正規分布N(0,1)に従う確率変数であるとする。下の問いに答えよ。
(a)Xの確率密度関数を書け。
(b)X^2の確率密度関数を求めよ。

(3)X,Yは独立な確率変数であり、Xはパラメータλ1のポアソン分布Po(λ1)に従い
また、Yはパラメータλ2のポアソン分布Po(λ2)に従うとする。
このときX+Yの確率分布を求めよ。

回答No.1

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(1)
Xの平均m=∫[-∞,∞] xf(x)dx
=∫[-1,1] x/2 dx
=0　...(答)
Xの分散V=∫[-∞,∞] (x-m)^2 f(x) dx
=∫[-1,1] x^2/2 dx=[x^3/6][-1,1]
=1/3 ...(答)

(2)
(a) Xの確率密度関数f(x)={1/√(2π)}e^(-(1/2)x^2) ...(答)

(b)
X^2の確率変数をYとすると
Y=X^2
y=x^2,
x=±√y
|dx/dy|=1/(2√y)
Y=X^2の確率密度関数 g(y)
g(y)=f(√y)|dx/dy|+f(-√y)|dx/dy|=2f(√y)|dx/dy|
={1/√(2πy)}e^(-(1/2)y) ( y≧0)　...(答)

とりあえずここまで。