確立密度関数の積分方程式

質問

ある事象の分析で、次の式にたどり着きました。

g(y) = ∫（-∞, ∞） f(x) f(x+y) dx

ここでf(x) は未知の確立密度関数、g(y)は既知の関数です。
私が考えている問題では、fを正規分布で近似できるので、gも正規分布となり、gの分散の1/2がfの分散になりますが、ここで実用を離れ、一般の場合に（gは偶関数でなければならないなど、いくつか条件はあると思いますが）この積分方程式が解析的に解けるのかということに興味をもちました。
調べた範囲ではこれを扱ったサイトが見つかりませんでしたので、ご教示お願いします。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

まず「確立」は「確率」の間違い。
確率分布を離れると、この式は自己相関関数を定義する式です。
質問されていることは「自己相関関数が与えられたとき、元の関数が定まるか」という問題になります。
一意には定まらないと思います。時間関数の場合、自己相関関数はパワースペクトルと等価ですが、関数が違ってもパワースペクトルが一致するものは沢山あります。もちろん、パワースペクトルが同じという条件があるので、関数同士には密接な関係があります。

お礼

最初は「一意に定まらないのではないか」と思いましたが、離散系でxのとりうる値が３通りの場合に試してみると解が実質上一意に求まったので、連続系ではどうだろうかと思った次第です。自己相関係数とパワースペクトルは、言葉だけ聞いたことがありまが、この機会に勉強してみようと思います。ありがとうございました。