Y=X^2の確率密度関数

質問

確率変数Xが、一様分布U(-1,1)に従うとする。このとき、
Y=X^2の確率密度関数を求めよ。

という問題の解き方で、まずYの一様分布を求めようとしたのですが、

Xが-1から1までの分布なので、Y=X^2から
Y=(-1)^2=1
Y=1^2=1
となるので、YはU'(1,1)の一様分布となる。

となってしまいました。U'(1,1)の一様分布なんておかしいですよね。
解き方が間違っているのでしょうか？
それともここから解くことが出来るのでしょうか？
どなたか分かる方いらっしゃいませんか？

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

X,Yの確率密度関数をPx(X),Py(Y)とします。
確率密度関数Px(X)とは確率変数Xが（X,X+dX)間になる確率が"Px(X)dX"になる関数Px(X)のことです。

Xは(-1,1)の一様分布ですから、-1<x<1でPx(X)=C(定数),それ以外でPx(X)=0です。
また、Xが(-∞,∞)の間にある確率は"1"ですから
∫[X:-∞→∞]Px(X)dX=∫[X:-1→1]CdX=2C=1
Px(X)=1/2 (A)

となります。

ここからYについて考えますが、XとYは1対1対応ではありませんのでまずはX>0の範囲だけを考えます。この範囲でのYの確率密度関数をP1y(Y),X<0での確率密度関数をP2y(Y)とする。

ここで、Xが(X,X+dX)にあるとき、Yが(Y,Y+dY)にあるとします。
このときの確率が等しくなることから
Px(X)dX=P1y(Y)dY (B)
dXとdYの関係はXとYの関係式 Y=X^2を微分すれば
dY/dX=2X→dY=2XdX (C)
となります。

(A),(C)を(B)に代入すると
(1/2)dX=P1y(Y)*2XdX
Py(Y)=(1/2)/2X=1/(4X)
となります。
この式にY=X^2→X=√Yを代入して

P1y(Y)=1/(4√Y)

となります。今考えているXの変域はXが(0,1)であることからYの変域は(0,1)となります。
Xが(-1,0)の場合も同様に解け、P2y(Y)=1/(4√Y)が得られます。

Py(Y)=P1y(Y)+P2y(Y)=1/(2√Y)
となります。(0<Y<1)

お礼

とても分かりやすい解説ありがとうございます。
自分のやり方では全然ダメでしたね(笑)

答えが#1のとは違うのですが、#1のは間違っているのでしょうか？

回答No.4

Tacosan

はっきり言うと, #1 は間違っています. そもそも Y は一様分布にならないです (これは質問者さんも誤解してましたね) し, Y が負のところで有限の確率が出ることもあり得ません.
何かを根本から勘違いしているように見えます.

お礼

やはり#1は間違っていましたか。
確かに負のところで有限の確立が出ることはないですね。

回答No.3

Tacosan

#2 の別法ですが Y の分布関数を経由する手もあります.
X の確率密度関数は pX(x) = 1/2 (-1≦x≦1) です. そして, Y の分布については
「Y ≦ y ⇔ -√y ≦ X ≦ √y」
です. したがって Y の分布関数が
Pr(Y ≦ y) = ∫(x: -√y→√y) (1/2) dx = √y
と求まります. これを y で微分すれば確率密度関数.

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、そういう解き方もあるのですね。

回答No.1

sanori

こんにちは。

“一様分布Ｕ（－１，１）”って、－１から１までの範囲で一定ということですよね？

確率変数Ｘが、一様分布Ｕ（－１，１）にしたがうということは、
－１　≦　ｔ　≦　１
において
Ｘ（ｔ）　＝　Ｃ　　（Ｃは定数）
だということです。

すると、
Ｙ（ｔ）　＝　Ｘ（ｔ）^2　＝　Ｃ^2
となります。

まず、Ｙを　ｔ＝－１　から　ｔ＝１　の範囲で定積分すると、
∫[t=-1→1]Ｙｄｔ　＝　∫[t=-1→1]Ｃ^2ｄｔ
　＝　Ｃ^2∫[t=-1→1]１・ｄｔ
　＝　Ｃ^2［ｔ］[t=-1→1]
　＝　Ｃ^2（１　－　（－１））
　＝　２Ｃ^2

よって、Ｙの確率密度関数は、Ｙを２Ｃ^2　で割ったものです。
Ｙの確率密度関数をｙと書けば、
ｙ　＝　Ｙ／（２Ｃ^2）
　＝　Ｘ^2／（２Ｃ^2）
　＝　Ｃ^2／（２Ｃ^2）
　＝　１／２

一応、検算すれば、
∫[t=-1→1]ｙｄｔ　＝　∫[t=-1→1]１／２　ｄｔ
　＝　１／２∫[t=-1→1]１ｄｔ
　＝　１／２（１－（－１））
　＝　１
合いました。

ちなみに、これ、
長方形の面積を１にするには、高さを何分の１にすればよいか、
ということと同じことです。
（一様分布の高さ　⇔　長方形の高さ）

ご参考になりましたら幸いです。