直線上の点の数と平面上の点の数は本当に等しいの？

質問

無限と連続を扱った数学の入門書を読むと次のようなことが書いてあります。

●直線上の点の個数と平面上の点の個数は等しい。
●「証明」
　(1)長さ１の直線Ｌと面積１の正方形Ｊを考える。
　(2)（Ａ，Ｂ）を正方形Ｊ内の点とし、Ａ＝0.A1A2A3A4A5・・・An，Ｂ＝0.B1B2B3B4B5・・・Bnとする。
　(3)この点に対し直線Ｌ上の点Ｐ
　　　ただしＰ＝0.A1B1A2B2A3B3・・・AnBn
　　を対応させれば、この写像はＪからＬへの１対１写像である。すなわちＪとＬの濃度は等しい。

これはカントルの証明だそうですが、なんだか信じられません。数学の世界では正しい証明であると認め
られているのですか？（もちろんそうなのでしょうね）

「長さ１の直線上の点の数と長さ１０の直線上の点の数は等しい」というのは連続的な写像を考えれば納得
できますけど、長さ１の直線上の点を「証明」の方法で連続的に写像させれば面積１の平面上の点がくまなく
うめつくされるとは思えません。
連続性のある実数の対応関係を１０進数表現を使って証明するというのことに無理があるのでは？

素人の素朴な疑問です。どなたか説明をお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ペアノ曲線。１本の連続曲線で正方形を埋め尽くすことができます。従って、この曲線の長さにそった１次元の座標と、正方形上の２次元座標とが対応づけられます。
ヒルベルトが作った例は以下のようなものです。読んだって分からないから、図を描いてくださいね。
(どこかにHPがあるでしょうから探してみて）

[1] (x,y)座標で(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)に頂点を持つ正方形のタイルを考えます。x軸は右がプラス,y軸は上がプラスということにしましょう。
●次数１
タイル上に、以下の点を順に繋いで「コ」の字型の曲線（折れ線)を描きます。
(1/4, 1/4) -> (1/4,3/4)->(3/4,3/4)->(3/4,1/4)
●次数２
一辺１の正方形をx=1/2, y=1/2で４分割します。
次数１の曲線を描いた正方形を一辺1/2に縮小したタイルを４つ用意します。そして４つの部分に以下のように嵌め込みます。
(1/4, 1/4)を中心とする部分(一辺1/2の正方形)には縮小したタイルを右に90度まわしたもの。
(1/4,3/4)と(3/4,3/4)の所には、回さないでそのまま、
(3/4,1/4)の所には左に90度回したもの。
それから、(1/4, 1/4)を中心とする一辺1/2の正方形の曲線 -> (1/4,3/4)の->(3/4,3/4)の->(3/4,1/4)の、が一本の曲線になるように線を書き足します。つまり(1/8,3/8)から(1/8,5/8)までの線分、(3/8,5/8)から(5/8,5/8)まで、(7/8,5/8)から(7/8,3/8)まで。
●次数N
一辺１の正方形をx=1/2, y=1/2で４分割します。
次数N-1の曲線を描いた正方形を一辺1/2に縮小したタイルを４つ用意します。そして４つの部分に以下のように嵌め込みます。
(1/4, 1/4)を中心とする部分(一辺1/2の正方形)には縮小したタイルを右に90度まわしたもの。
(1/4,3/4)と(3/4,3/4)の所には、回さないでそのまま、
(3/4,1/4)の所には左に90度回したもの。
それから、(1/4, 1/4)を中心とする一辺1/2の正方形の曲線 -> (1/4,3/4)の->(3/4,3/4)の->(3/4,1/4)の、が一本の曲線になるように線を書き足します。

この曲線（というより折れ線）をN->∞にした極限がヒルベルトのペアノ曲線という訳です。これは「フラクタル曲線」の一例ですが、「フラクタル」という概念が出来る遙か以前から知られていました。ちなみにこの曲線のフラクタル次元は2（平面と同じ次元）です。

[2] このタイルを無限個使って、曲線が繋がるように平面を埋め尽くすことができます。中心から始めてぐるぐる渦巻きに繋いでいけば良い。

[3] これで、一本の曲線で平面を埋め尽くし、つまり実数の集合Rと、実数２個の対の集合R^2を1:1に対応づけることができました。

●実数というものは、時々とても信じられないような定理が出てきます。測度論の非可測集合という概念がその典型。バナッハ-タルスキーの定理など、「えー？？」ってなもので、面白いですよ。
「無限」小数っていうものが既にアブナイ世界だという気がしますねえ。

回答No.3

stomachman

Stomachmanとしたことが、一番肝心な所を説明し忘れました！ ヒルベルトのペアノ曲線が正方形を埋め尽くすことの説明。
点(x,y)のxとyを２進法の無限小数で表すことにします。例えば(1/2,1/4)という点なら ２進法では(0.1,0.01)ですが、無限小数にすれば(0.0111111...., 0.001.....)ですね。
さて、次数1の曲線は(0.01, 0.01)(0.11,0.01)(0.01,0.11)(0.11,0.11)という４点を通ってます。（ちょうど折れ曲がる所です。）つまり、小数点以下２けたまである小数（のペア）を尽くしている。同様に、次数Nの曲線は小数点以下N+1桁まである小数を尽くしている。そして次数∞(ペアノ曲線)では小数点以下∞桁の小数を尽くしている、という訳です。

また、カントールの証明も、１０進数だとなんだか凄く人為的に見えますけど、２進数で考えると図に描くことが可能です。小数点以下２～３桁目まで、ぐらいに制限して、２つの数が１つに合成される様子をグラフ化してみてはどうでしょう。つまり２桁目まで、というのなら、正方形を１６個に分けて、そこに対応する実数を書き込んでみるんです。これができたら、32分割に挑戦。そうすれば、桁数を増やすとどうなっていくのか、雰囲気がつかめますよ。

お礼

すばやい、そしてていねいな回答、本当にありがとうございます。自分で図に書いてみて、だいたい理解
できました（つもりです）。それにしても無限とは不思議ですね。限りなくどこまでもどこまでも近づく
ことはできるのに到達はできない。次数が有限値であるかぎり、平面がまだ線が引ききれていないスカスカ
状態であることに変わりはないですものね（という認識であってます？）。
無限に近づくと言っても本当は全然近づいていないのですよね。
「有限世界の旅」の延長上には「無限という楽園（または深淵）」はないのですよね。数学では「無限」という
値そのものの実在は問わないのですか？（何か神学論みたいです）

補足

stomachmanさん、完璧な回答、ありがとうございました。たいへんよくわかりました。mori0309

回答No.2

mako18

どんなものでもどんなにでも
圧縮したり
伸ばしたりできるということなんですよ
同じ大きさのパンでも
小錦が持つと小さく見え
池乃めだかが持つと普通に見え
蟻がたかると大きく見えます
１の線分と１０の線分は
そのもの自体が変わっているだけで
１０は１を伸ばしたもので
１は１０を圧縮したものです

相似という意味で同じなのです