【数学の問題】※点と直線

質問

平面上の3点O(0,0)、A(4,8)、B(-2、11)について

(1)点Bを通って、△OABの面積を2等分する直線の方程式は？

(2)点P(1,2)を通って、△OABの面積を2等分する直線の方程式は？

学校の教材なのですが、
解答しかついていないので
解法付きでお願いしたいですm(__)m

回答No.2

ferien · ベストアンサー

平面上の3点O(0,0)、A(4,8)、B(-2、11)について

(1)点Bを通って、△OABの面積を2等分する直線の方程式は？

(2)点P(1,2)を通って、△OABの面積を2等分する直線の方程式は？

図をきちんと描いた方が分かりやすいです。

（１）
点Ｂを頂点ＯＡを底辺とすると、ＯＡを２等分すると面積が２等分になります。
（高さが同じだから、面積の比は底辺の比できまるから）
だから、二等分する直線は、点ＢとＯＡの中点を通ります。
ＯＡの中点は、（０＋４／２，０＋８／２）＝（２，４）
直線の傾きは、（４－１１）／（２＋（－２））＝－７／４　Ｂを通るから　
ｙ－１１＝（－７／４）（ｘ＋２）　
よって、ｙ＝（－７／４）ｘ＋１５／２……答え

（２）
ここで、直線ＡＢのｙ切片を求めておきます。そのために直線ＡＢの式を求めます。
傾き＝（８－１１）／（４－（－２））＝－３／６＝－１／２
Ａ（４，８）を通るから、ｙ－８＝（－１／２）（ｘ－４）　ｙ＝（－１／２）ｘ＋１０
ｙ切片は１０　この点をＣ（０，１０）とおきます。

△ＣＯＢの面積は、図から、底辺１０高さ１だから、
（１／２）×１０×１＝１０

△ＡＯＣの面積は、図から、底辺１０高さ４だから、
（１／２）×１０×４＝２０
△ＡＯＣの頂点をＣとすると、底辺ＯＡは、ＡＰ；ＰＯ＝３：１になっている。
△ＣＡＰと△ＣＰＯは高さが同じだから、面積比は底辺の比で決まるから
△ＣＡＰ：△ＣＰＯ＝３：１
△ＡＯＣ＝２０だから、△ＣＡＰ＝１５、△ＣＰＯ＝５
だから、ＣＰを通る直線を引くと、図から
△ＣＯＢ＋△ＣＰＯ＝１０＋５＝１５、△ＣＡＰ＝１５　のように２等分できる。
Ｃ（０，１０）Ｐ（１，２）より、
傾き＝（２－１０）／（１－０）＝－８　Ｃを通るから
ｙ－１０＝－８（ｘ－０）　
よって、ｙ＝－８ｘ＋１０……答え　

答えが違うとか何かあったらお願いします。

お礼

答え完璧です(*^^*)

分かりやすく丁寧な解説、
ありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

（１）
ＯＡの中点を通れば、△ＯＡＢの面積は二等分されるのでは？

（２）
点Ｐは辺ＯＡ上の点で、ＯＡを四等分します。求める直線がＯＢと交わる場合、△ＯＡＢの面積は二と分されません。従ってＡＢと交わるはずですが、その交点をＱとすると、ＡＰがＯＡの３／４の長さなのだから、ＡＱがＡＢの２／３の長さになるようにすればいいのでは？

いずれも図を書いてみて下さい。