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平面とはなんですか？
- 平面とは、面上のどの２点を通る直線も必ずその面の上にのっているものを指します。
- 面積が９平方センチメートルの正方形で例えると、その正方形の面積内にある２点を結ぶ直線は必ずその正方形の上に乗ります。
- 平面は小中学生でも理解できるように説明すると、２点を結ぶ直線が必ず面の上にあるものを指します。
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その辞書の定義は平面の性質を説明したものですね。 しかし厳密で本質的な解説でもあります。 平面ではない、つまり曲面ならば、 任意に2点を選んでその点を通る直線を引くと、 必ずしもその直線が面上に来るとは言えません。 たとえば、北極点と南極点はともに地表という同一面上にありますが、 これを通る直線はある2点を除いて地表にはありません。 その2点とは北極点と南極点です。 さて、「平面」について平たく言うなら、「平らでありどの方向にも無限の広がりを持つ面」です。 以上の定義から、質問2は成り立ちません。 9平方センチメートルの面積を持つ正方形は無限の広がりを持ちません。 また、直線も、「無限の長さを持つまっすぐな線」ということができますので、 有限の面積の正方形上に乗ることはありません。 ただ、wantantonさんの言わんとしていることはだいたいの意味においては間違いではありません。
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- Ishiwara
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数学を学ぶ目的は「抽象的な表現に慣れる」ことと「厳密な考え方に慣れる」ことです。 したがって、まだ幼い人に対しては、「平面とは鏡のようなもの」という定義で十分です。幼い人に対して「論理的に厳密で、かつ分かりやすい」表現は、無理であるし、必要ありません。抽象表現に入ってもよい時期というものがあります。教師があまりに急ぐことは、結局「数学嫌い」を大量生産することになります。今まで、どれほど多くの数学嫌いが、こうして作られたことでしょうか。 「小中学生に分かるように～」とは、「あなたのレベルが現在小中学生」なのか、それとも「これから小中学生に説明しようとしている」のか、そのあたりも分かりません。また小学生と中学生を一緒にするのもいけません。抽象的なことを考える力は、ずいぶん違います。 「直線」や「平面」は「無限のもの」である、という説明もでいいのですが、むしろ「端については考えないものとする」というのが数学の本質的な態度です。
平らな面のことなんですが、それじゃだめですか？ その直線を使った定義は、例えば粘土の塊を糸で切るようなイメージです。いろいろな方向からピンと張った糸をあてて、凸凹を削りとっていき、最後に凸凹がないようになれば、それが平面だといえるわけです。 糸と粘土の塊を渡して、平らな面が出るように切れ、といえば、平面の定義を知らなくても、誰でもそうするでしょう？ 正方形の例で言えば、そういう意味です。平面といった場合にはふつうは無限に広がる面を考えますが。 たとえば、地球儀の表面は平面ではありません。その証拠に、東京とワシントンを結ぶ直線は地球儀の表面にのりません。
面上のどの２点を結ぶ線分も必ずその面の上にのっているときそれを平面と定義することもできて 稠密であるような点の集まりの集合を平面と定義することもできる。 (定義の仕方は一つとは限らない) なお稠密というのは任意の異なる点と点との間を適当に集合として取った時に その集合が元の点の集まりの集合の部分集合になっていることを意味する。 例えば 面上のどの２点を結ぶ線分も必ずその面の上にのっているときそれを平面と定義するということは 面上をS＝I×J＝{(x,y)|x∈I,y∈J}としたときに、集合Sから任意に2つの元を取り出して (Sの元を点とした) その2点を通る線分をIからJの一つの写像(関数)と考える。 (写像をf:I→J とし,2点のxの値をa,b ([a,b]⊂I)とする) もちろん点(x,f(x))(x∈[a,b])は線分上にあるとする。 a,bをa,b∈Iで任意に固定し、任意のx∈[a,b]について(x,f(x))がSの元となれば Sを平面と定義するというのと同じである。 これはその集合Sが稠密である点の集まりの集合と示すこともでき、 逆に 稠密であるような点の集まりの集合は面上のどの２点を結ぶ線分も必ずその面の上にのっている集合と 示すことが可能である。
