直線上のある点に隣接した点は存在しないのか？

質問

直線の連続性について考えているうちに、わからない問題が出て来てしまい困っています。

＜問題＞
直線が連続であるということは、直線上に点Ａがあるとすれば、それに隣接した点Ｂがあるはずだと思いました。この場合、点Ａは点Ｂではないとします。

ここからが問題ですが、もし、点Ａに隣接する点Ｂが存在するとすると、点Ｂは、他のどの点より点Ａに近いはずです。ところが、点Ｂは点Ａでないとすると、点Ａと点Ｂの中間の点Ｃが必ず存在し、その点Ｃは、点Ｂより点Ａに近いことになり、点Ｂは点Ａに隣接していることになりません。すなわち、点Ａに隣接する点が存在しないことになります。ということは、点Ａと点Ｂの間には、隙間があり、直線の連続性が実現できないことになります。

この矛盾を解決するための、数学的な証明方法を教えてください。

回答No.5

shkwta · ベストアンサー

単に連続という言葉の使い方を間違っているだけだと思います。

図形の直線を考えると混乱するので、抽象的な集合を「直線」と考えます。

いま、ある（空でない）集合を考え、この集合を「直線」と呼び、その要素を点と呼ぶことにします。隣接とか中間とかを考えるには、集合の元に順序（大小関係）が存在しなければなりません。「直線」ではそのような大小関係が定義されているものとします。

「任意の点Ａについて、ＡとＢの間には他の点が存在しないように、Ａと異なる点Ｂを選ぶことができる」ということであれば、これは離散的な大小関係です。たとえば、整数全体の集合を「直線」と呼ぶならば、ご質問に合致するような「直線」をつくることができます。これは連続とはいいません。

次に
「任意の異なる２点Ａ、Ｂについて、ＡとＢの間の点Ｃが存在する」
この性質は稠密といいます（連続とは異なります）。
たとえば、有理数全体の集合を「直線」と呼ぶならば、この「直線」は稠密です。

連続は、さらにもう一段上の条件が必要です。
「「直線」を２つの部分集合α、βにわけて、βの任意の点が、αのどの点より大きくなるようにする（この分割方法を切断という）。任意の切断について、αの点ＡについてはＡ≦Ｃ、βの点ＢについてはＣ≦Ｂとなる点Ｃが存在する」

有理数の集合を「直線」と呼ぶ場合、この条件を満たさないことを示すのは簡単です。
負の有理数全部と、２乗したら２未満になる正の有理数をα、２乗したら２以上になる正の有理数をβとしたら、上に書いたＣは（実数の集合であれば）√２ですが、これは有理数ではありません。

実数の集合を「直線」と呼ぶ場合、連続の条件を満たします。

お礼

ていねいなご回答いただきありがとうございました。

なかなか難しい世界なんですね。
正しい回答をいただいても、回答を理解するだけの能力を持たずに質問してしまったことに気づきました。
恐縮です.....(^^;;

回答No.6

Landolt

既にみなさんが詳しく説明しているので要点を簡潔に。

kobareroさんが考えている「連続」という概念を使うのであれば、
「隣接する点がある」というところに間違いがあります。

これを詳しく説明するためには「実数の濃度」やらなんやらという説明が必要になるので、
そこは割愛します。必要ならばまたどうぞ。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

mryokko

現実の直線・点と数学的な直線・点を混同していらっしゃるのかも知れません。

数学的な直線は長さだけで幅を持ちません。点は面積を持ちません。

でも、現実の直線は長さと、そして幅が実在します。点も、面積がなければ我々は認識できません。

ですから、数学的な「隣接」の概念は現実とは異なるわけです。

脇道にそれますが、点の直線的な集合体が「直線」と定義されるますが、「面積のない」点はいくら繋がっても面積を持たず、線にはなり得ません。ですので、証明は・・・

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

tnt

背理法はno.2さんの通りです。

もうひとつは、点Ｂを仮定した時点での誤りです。
「隣接する点」という仮定をしていますが、
点に大きさはありません。
ですから、点Ｂ＝点Ａなんです。
ということは、その中間にある点Ｃも点Ａです。

これを、点Ａ≠点Ｂとした時点で
それを背理法で否定する必要が出ます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございました。

＃１，２，３の皆様同じように「仮定」そのものがおかしいとおっしゃっているようですが、私は頭が悪くでどう間違っているのかわからないので、申し訳ないですが、どこがどう間違っているかもう少し説明していただけませんでしょうか？

例えば、「隣接する点があるという考え」が間違いなのか、それとも、「隣接する点を考えるのは良いが、点Ａが点Ｂでないというのがおかしいのか」など教えてください。できれば、その理由もお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.2

iwow

もう背理法であなたは証明してしまっていますよね．

つまり，下の方同様，仮定が間違っている．
したがって，点Aと点Bには隙間がないから，直線は連続であると．

補足

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

矛盾がでてしまったってことは、仮定が違うわけです。

この場合は
「直線が連続であるということは、直線上に点Ａがあるとすれば、それに隣接した点Ｂがあるはずだと思いました。」
っと思ったのが違ったんでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございました。