パズル的難問、平面上の異なるn直線でできる交点数

質問

にゃんこ先生といいます。

平面上に異なる2直線があったとします。
「＝」型のとき、交点数は0個。
「×」型のとき、交点数は1個。

平面上に異なる3直線があったとします。(同一点で交わっていてもすべて平行でもかまいません。)
「≡」型のとき、交点数は0個。
「＊」型のとき、交点数は1個。
「キ」型のとき、交点数は2個。
「△」型のとき、交点数は3個。

平面上に異なる4直線があったとします。(同一点で交わっていてもすべて平行でもかまいません。)
交点数は、0個、1個、3個、4個、5個、6個の場合があります。交点数が2個の場合はありません。

このように考えていくと、平面上の異なるn直線でできる交点数の可能性はどうなるのでしょうか？
0個や1個やn(n-1)/2個の可能性があるのはすぐに分かります。

いろいろ検索したのですが、参考となるサイトがまったく出てきませんでしたので、参考サイトを教えていただく形でもかまいません。
直線を増やしていったときのハッセ図を見てみたいです。

なお今回と趣旨は異なりますが、「平面にｎ本の直線をどの２本も平行でなく、また、どの３本も１点で交わらないように引いたときにできる三角形の領域の総数」の話題は見たことがあります。

回答No.2

soranomuso · ベストアンサー

n=2 0~1 (全部)
n=3 0~3 (全部)
n=4 0~6 (非2)
n=5 0~10 (非2~3)
n=6 0~15 (非2~4)
・　　・
・　　・
n=m 0~m(m-1)/2 非2~(m-2)、m>2

0と1は言わなくても分かるでしょう
では0~(m-2)の部分は解決。
交点数一番多い場合を先に考えましょう
実は真ん中の多角形を作っています。
n=3　絡んだ3直線の真ん中は三角形
n=4　絡んだ4直線の真ん中は四角形
・　　・
・　　・
n=m　絡んだ4直線の真ん中はm角形
[2,∞)の中で、始めは三角形を作って、交差点が出てくる。
そして、次から次へと、三角形を割りながら、変化する多角形になりつつある。
最後は(m-2)~m(m-1)/2、すべての場合が存在するのは自然に証明できる。
お役に立てると幸いです

お礼

ありがとうございました。
直線を次々付け足していったときのハッセ図を知りたいと思いました。
平行な直線の個数を数えると、分割数とも関連があると思います。
一般に、n本の直線の位置関係は何通りあるのかも知りたいです。

回答No.3

Knotopolog

詳しい計算をやりもせず，直感的な回答で恐縮ですが・・・．

オイラーの多面体定理（オイラーの多面体公式）

頂点の数(V) － 辺の数(E) ＋ 面の数(F) ＝ 2

を使うと，有効な答えが得られるように感じます．

まず，ｎ本の直線の交点をすべて含む円周Ｃを描きます．円周Ｃが必ず描けることは自明です．

すると，円周Ｃの内部には，ｎ本の直線の一部分を辺にもつ多角形とその頂点が存在することになります．

これらの，円周Ｃと多角形は，オイラーの多面体定理　V－E＋F＝2　を満たします．（円周Ｃの外部の面も一つの面として， F の数に加える）

求める交点は，頂点の数(V)から，Ｃ上の点の数，２ｎを除いた残りです．

次の様な性質があります．

● 各多角形は，その多角形を囲む「頂点の数」と「辺の数」が等しい．

● 各辺は，必ず多角形を共有している．つまり，各辺が，必ず二つの多角形の辺となっている．

これらの性質と，V－E＋F＝2　と，グラフ理論の知識も用いて解いて行くことになります．

以上ですが，何かのご参考になれば幸甚です．

回答No.1

soranomuso

いい思い付きです、研究します。時間をください。