点と直線の距離？

質問

数学(2)のはじめのほうの単元です。
点と直線の距離だったかな？

直線ｌ:x+2y=5に関して点Ａ(4,3)と対称な点Ｂの座標を求めよ。

という問題です。
この手の問題の解き方がわかりません。
やり方を教えてください～（＞＿＜）

回答No.3

o-totoro · ベストアンサー

x+2y=5を次のように表します
ｙ＝-1/2ｘ＋5/2
これは傾きが-1/2でy軸との交点が5/2(=2.5)の直線です。

この直線lと点Aの距離を求める為に、点Aを通り直線lに垂直な線mを求めます。（垂直に交わる線分が最短距離のため）
直線mの傾きは2（掛けて-1になる数）なので
直線m:y=2x+b
と表せます。
次に直線mは点A(4,3)を通るので、これを式に代入してb=-5となり、
直線m:y=2x-5
ということになります。

直線lと直線mとの交点Cを求めると。（ふたつの方程式を解くと）
点C(3,1)
がわかります。

点C(3,1)は、点A(4,3)と点B（u、v)の中間にあるので
点Bは(2,-1)
ということがわかります。

数学的に解くと、
3=(4+u)/2→U=2
1=(3+v)/2→v=-1となります。
おわかりいただけたでしょうか？

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.5

ryumu

みなさんがもう答えられてるのでくどくなりますけど、ちょっとだけひねって・・・

直線

　　　　　ax+by+c=0　　　

に垂直な直線の一般式は、

　　　　　bx-ay+d=0　　　

とかけます（証明は、ベクトルなり、傾きの積が-１になることを利用すればできます）。
つまり、x+2y-5=0の垂直線の一般式は、2x-y+d=0　・・（＊）となります。
ｄは点（４，３）を通ることから、ｄ＝-５となります。
２式より、交点は、（３，１）となり、求める点は式（＊）上にあることから、（ｔ、２ｔ－５）と表せます。

あとは（４，３）と（ｔ、２ｔ－５）の中点が（３，１）であることを考慮して、（ｔ、２ｔ－５）=（２，－１）となります。
・・・・ん？？？ひねれてない？！

お礼

おおっ、なんか新しい解き方じゃないですか？
あまり深い事は分かりませんがなんか凄いです。

レスありがとうございました。

回答No.4

master-h

まず、問題の式を変形します。
ｘ＋２ｙ＝５　→　ｙ＝－（１/２）ｘ＋（５/２）

また、点Ａと点Ｂが直線で対称という事は、
この二つの点を結んだ時にできる線分ＡＢの中点が、
問題の直線上にあるという事です。
線分ＡＢの式を一般的な直線の式で
　ｙ＝ａｘ＋ｂ
としましょう。
この時、ａを直線の傾き、ｂをｙ切片といいます。

さて、点Ａと点Ｂが問題の直線で対称ということなので、
線分ＡＢは、問題の直線に対して、垂直に交わります。
直線同士が、垂直に交わる条件は、
直線の傾きの積の値が、－１になることです。
　　　　　　　　　　　（↑これは、重要なので覚えておいてください）
問題の直線の式を変形した事によって、
直線の傾きが－（１/２）だとわかりました。
では、この－（１/２）とかけ算して－１になる数字は、２です。
したがって、線分ＡＢの式のａの値が２だとわかりました。

ここまでで、線分ＡＢの式は、ｙ＝２ｘ＋ｂ　となります。
この直線の式は、当然、点Ａを通るので、点Ａの値を代入すると
３＝（２×４）＋ｂ　となり、ｂ＝－５　だとわかります。
これにより線分ＡＢの式は
ｙ＝２ｘ－５
だと求められました。

次に直線と線分ＡＢの交点を求めます。
直線の式のｙに線分ＡＢの式を代入すると
ｘ＋２（２ｘ－５）＝５
となります。
これによりｘ＝３だとわかります。
また線分ＡＢの式にｘ＝３を代入してｙ＝１が求められます。
これが、線分ＡＢの中点の座標です。

点Ｂの座標を（Ｘ１、Ｙ１）とします。
２つの点の中点の座標の求め方に当てはめて方程式を作ります。
（Ｘ１＋４）/２＝３
（Ｙ１＋３）/２＝１
これよりＸ１＝２、Ｙ１＝－１となります。

したがって、点Ｂの座標は（２,－１）となります。

説明がくどくて申し訳ないです。

お礼

凄い詳しいですね、参考になりました。
私の為に長々と書かせてしまいましたお疲れでしょう。
どうもありがとうございました。

回答No.2

a-kuma

では、やり方だけ。

x+2y=5 を y=ax+b の形に変形すると、その a が直線Lの傾きになります。
直線Lと直行する直線L'は y=-1/a x + b' と表されます。
その L' は、点A を通るのですから、b' を求めることができます。

直線L'が求まれば、それと直線L との交点の座標（仮に、点Cとします）を
求めることができます。

点Bは、直線L' の上にあり、点Cは、点Aと点Bの中点なのですから、
(Xc,Yc)＝((Xa＋Xb)÷2, (Ya＋Yb)÷2)
を満たします。

＃ しばらく数学なんてやってないので、もっとエレガントな解法があるかも

お礼

なんとか解くことが出来ました。
レスありがとうございました。

回答No.1

noname#53364

いろいろなやり方がありますが基本の方法

考えるべきはABの中点をｐと置くと

ABの中点Ｐがx+2y=5上
x+2y=5とABが垂直

を使います。

B(a,b)おくと
中点Ｐ（a+4/2,b+3/2）これがx+2y=5上より
（a+4/2）＋２（b+3/2）＝５

ABの傾きは(b-4/a-3) これがx+2y=5と垂直より
(b-4/a-3)＊（－１／２）＝－１

これを解けばBが求まります。
細かい計算は自分で確認してね。
他にも方法あるんじゃないかな。

お礼

どうもありがとうございました。
無事解くことができました。